formulario EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL


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1 formulario EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL Dirección del Área de los EGEL AGOSTO 017

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3 formulario EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL Dirección del Área de los EGEL AGOSTO 017

4 Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Civil (EGEL-ICIVIL) y está vigente a partir de enero de 015. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-ICIVIL agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a: Dirección del Área de los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura (DAEGEL) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) en Diseño, Ingenierías y Arquitectura Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. Camino al Desierto de los Leones, 37 Av. Camino al Desierto de los Leones Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P , México, CDMX Tel: 01(55) Ext Fax: 01 (55) ext D. R. 017 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. (Ceneval) Quinta edición

5 Directorio Dirección General Dr. en Quím. Rafael López Castañares Dirección del Área de los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura (DAEGEL) M. en Ed. Luz María Solís Segura Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) en Diseño, Ingenierías y Arquitectura Ing. Eduardo Ramírez Díaz Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Civil (EGEL-ICIVIL) Lic. Sofía Alejandra Espinoza Delgadillo

6 Consejo Técnico Universidad Autónoma de Nuevo León Dr. Ricardo González Alcorta Universidad Autónoma del Estado de México Dr. Horacio Ramírez de Alba Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Puebla Dr. Miguel Xicoténcatl Rodríguez Paz Universidad Veracruzana Dr. José Guadalupe Rangel Ramírez Universidad Autónoma de Yucatán Dr. Luis Enrique Fernández Baqueiro Universidad de Sonora Dr. Juan Arcadio Saiz Hernández Benemérita Universidad Autónoma de Puebla M. I. Fernando Daniel Lazcano Hernández Universidad del Valle de México, Campus Sur M. I. Alejandro Hernández Salazar Universidad Tecnológica de México, Campus Sur Ing. Alfredo González Salcedo Representantes de asociaciones gremiales Colegio de Ingenieros Civiles de México Ing. Oscar Enrique Martínez Jurado

7 Contenido Diseño de estructuras Ecuaciones fundamentales de la mecánica de los materiales Carga axial Torsión Flexión Esfuerzo cortante Esfuerzo en recipientes de pared delgada bajo presión Ecuaciones de transformación de esfuerzo Relaciones entre propiedades del material Relaciones entre w, V, M Curva elástica Pandeo Métodos de la energía Hipótesis NTC del RCDF Especificaciones ACI Columnas ACI Gráfica de diseño en concreto por flexión Gráficas de diseño para columnas de concreto... 0 Diámetros, pesos, áreas y perímetros de barras... 3 Ayudas para la construcción en acero Sección 1.1 Esfuerzos permisibles Sección 1. Estabilidad y relaciones de esbeltez Sección 1.3 Relaciones ancho-espesor Esfuerzos admisibles en kg/cm para miembros en compresión (acero A 36)... 4 Diseño hidráulico Flujo a superficie libre Canales Diseño de canales en flujo uniforme Partiendo de la ecuación de Manning para la velocidad Tubería circular trabajando como canal... 46

8 Compuertas planas rectangulares Vertedores rectangulares de pared delgada Vertedores rectangulares de pared delgada sin contracciones laterales Método de Hegly Método de Rehbock (vertedores sin contracciones laterales) Vertedores rectangulares de pared delgada con contracciones laterales Método de Hamilton-Smith Vertedores rectangulares de pared gruesa. Cuando e/h> Vertedores rectangulares sumergidos Vertedor de cresta redondeada controlado por compuertas radiales Cortina vertedora de cresta libre... 5 Vertedores triangulares... 5 Salto hidráulico (canales rectangulares) Las variables típicas involucradas en el salto hidráulico se presentan en la figura siguiente Empujes hidrostáticos (b = ancho, m) Empuje horizontal en una cara plana vertical Empuje hidrostático en una cara inclinada Reacción vertical en un muro trapezoidal Fuerzas en cortina de concreto (a = ancho de la cortina en metros; c = 400 kg/m³) Empujes hidrodinámicos Compuertas planas rectangulares y cortina vertedora (b = ancho, m) Cortina vertedora (b = ancho, m) Pilas de puentes Pieza especial con doble cambio de dirección (g = 9.81 m/seg²; = kg/m³) Diseño ambiental Abastecimiento de agua Método de los mínimos cuadrados para determinar la población de proyecto (P), con el ajuste lineal: Gastos medio diario, máximo diario y máximo horario: Línea de conducción por gravedad: Fórmula de Depuit: Línea de conducción por bombeo: Fórmula de Manning:... 60

9 Sistemas de alcantarillado Fórmula de gasto medio para aguas negras en un tramo de la red: Fórmula de Harmon Fórmula racional para alcantarillado pluvial Fórmula de Burkli-Ziegler para alcantarillado pluvial Diseño de cimentaciones... 6 Deformaciones en suelos Capacidad de carga... 6 Cimentaciones someras... 6 Cimentaciones profundas Normas técnicas complementarias para diseño y construcción de cimentaciones Tabla de requisitos mínimos para la investigación del subsuelo Tabla Límites máximos para movimientos y deformaciones originados en la cimentación Factores de carga y de resistencia Cimentaciones someras (zapatas y losas) Cimentaciones compensadas Tabla de pesos volumétricos de diferentes materiales... 7 Diseño de carreteras Para vehículos con tractor, semirremolque y/o remolque Desplazamiento de la huella del tractor (dt): Desplazamiento de la huella del semirremolque: Desplazamiento total de la huella del vehículo: Gráficas para el efecto de las pendientes en los vehículos Fuerza de que dispone el vehículo para acelerarse o desacelerarse Fuerza tractiva Resistencia al aire Resistencia al rodamiento Para camiones pesados y buena superficie de rodamiento, como asfalto o concreto: 81 Resistencia por fricción en el frenado Resistencia por pendiente... 8 Volcamiento: Características del vehículo de proyecto La distancia de visibilidad de parada se obtiene con la expresión:... 88

10 Distancia de visibilidad de rebase: Coeficiente de fricción longitudinal en el frenado Distancia de visibilidad en Curvas verticales en cresta: Distancia de visibilidad en Curvas verticales en columpio: Curvas horizontales Curvas circulares: Grado máximo de curvatura: Simbología de la curva circular con espirales... 9 Curvas verticales Criterio de comodidad Criterio de apariencia Criterio de drenaje Criterio de seguridad Curvas en cresta Curvas en columpio Curvas verticales Longitud Mínima: Pendiente en un punto cualquiera de la curva Pendiente de la cuerda a un punto cualquiera Sobreelevación para un grado cualquiera Ampliación y sobreelevación en transición Distancia económica de sobre acarreo Determinación de pesos específicos Representación esquemática de los límites de Atterberg Representación esquemática para la determinación de contracción lineal Cálculo de la curva masa Determinación de la compensadora económica Diseño de pavimentos Gráfica de diseño para estructuras de pavimento flexible, método AASHTO Método de diseño de pavimentos flexibles AASHTO Factor carril Número de ejes equivalentes a 8. t Confiabilidad Cálculo de Número Estructural Carta de diseño AASHTO

11 Estructuración del pavimento Coeficiente de drenaje Construcción Ingeniería de costos Costo horario Matemáticas Álgebra Geometría Áreas Volúmenes Trigonometría Geometría analítica plana Geometría analítica del espacio Cálculo diferencial e integral Ecuaciones diferenciales Tabla de anuladores Tabla de transformadas de Laplace Probabilidad y estadística Modelos probabilísticos comunes Física Mecánica Centroides Estática Fuerza aplicada paralelamente al plano de deslizamiento: Fuerza aplicada oblicuamente respecto al plano de deslizamiento: Poleas y polipastos: Dinámica Características cinemáticas de puntos y segmentos rectilíneos Componentes cartesianas de los vectores de posición, velocidad y aceleración lineales para movimientos en el espacio, en un plano y rectilíneos Cinemática del cuerpo rígido Centro y eje instantáneo de rotación

12 Primeros momentos de la masa de un sistema de partículas Primeros momentos de la masa de un cuerpo rígido Ecuaciones escalares de centro de masa Momentos de inercia de la masa de un cuerpo rígido Dinámica de la partícula Trabajo y energía Energía cinética y su relación con el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula Impulso y cantidad de movimiento lineales Ecuación diferencial de movimiento para sistemas de partículas Ecuación fundamental para el estudio de la dinámica del cuerpo rígido Ecuación de impulso y cantidad de movimiento lineales para sistemas de partículas Ecuación para obtener la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido Ecuación para obtener la suma de los momentos de los elementos mecánicos que actúan sobre un cuerpo rígido Momento de un sistema de fuerzas y/o pares que actúan sobre un cuerpo, con respecto el eje CC Primera forma de la ecuación del trabajo y la energía para un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento angulares Modelo matemático correspondiente a las vibraciones libres con un grado de libertad Modelo matemático correspondiente a las vibraciones forzadas con un grado de libertad Química Tabla periódica de los elementos Expresiones de concentración Comparación de las propiedades de las disoluciones, los coloides y las suspensiones Tipos de radiación electromagnética Escala de ph Sistemas cristalinos

13 Ecuaciones fundamentales de la mecánica de los materiales Carga axial Diseño de estructuras Esfuerzo normal = P A L P(x)dx Desplazamiento = A(x)E Torsión 0 PL AE L TL Esfuerzo cortante en una flecha circular T J donde J = R 4 4 J = (R 0 R i 4 ) sección transversal sólida sección transversal tubular R = radio de sección transversal Potencia P = T = ft Ángulo de torsión L T(x)dx J(x)G 0 TL JG Esfuerzo cortante promedio en un tubo de pared delgada T prom ta t T Flujo cortante q = prom ta m m 13

14 Flexión Esfuerzo normal My I Flexión asimétrica M zy Myz, tan = I I I Iz Esfuerzo cortante z Esfuerzo cortante directo promedio y y tan Esfuerzo cortante transversal prom V A Flujo cortante prom q = t VQ It VQ I Esfuerzo en recipientes de pared delgada bajo presión Cilindro 1 Pr t Pr t Esfera 1 Pr t Ecuaciones de transformación de esfuerzo x y x y x cos + xy sen x y xy sen + xy cos Esfuerzo principal xy tan p ( ) / 1, x y ( x y ) x y xy 14

15 Esfuerzo cortante máximo en el plano tan s ( ) / x y xy max x y xy x y prom Esfuerzo cortante máximo absoluto abs max prom max max min min Relaciones entre propiedades del material Razón de Poisson lat long Ley de Hooke generalizada 1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E xy 1 xy, yz 1 yz, zx 1 G G G donde G = E (1+ ) zx Relaciones entre w, V, M dv dx w(x), dm V dx 15

16 Curva elástica 1 M EI 4 E I = d v w (x) 4 dx 3 E I = d v 3 dx V(x) E I = d v M(x) dx Pandeo Carga axial crítica P E I (KL) cr Esfuerzo crítico E cr (KL / r), r = I / A Fórmula de la secante P A max 1 ec sec L r r P E I Métodos de la energía Conservación de la energía U e = U i Energía de deformación U U U U i i i i N L carga axial constante AE L M dx momento flexionante E I 0 L fsv dx cortante transversal GA 0 T L momento GJ 16

17 Hipótesis NTC del RCDF-04 Sobre la distribución de deformaciones unitarias y esfuerzos en la zona de compresión para cálculo de la resistencia a flexión y a flexocompresión de secciones de concreto reforzado. b cu = f c = 3 f*c c a = 0.8c C d As Especificaciones ACI b d As β1 = 0.85 f c β1 = β1 = 0.65 c Fuerza cortante resistente VCR = Fr b d ( p) f * c Resistencia de diseño PR = FR (f c Ag + fy As) Єs εs Єsu=0.003 Deformaciones unitarias EN E.N. 3 = [ (f*c / 150)] 0.85 f*c = 0.8 f c f c y f*c en kgf/cm, si se expresan en MPa, sustituir 1 50 por 10 a = β1 C para f c 80 kg/cm² para 80 kg/cm² f c 560 kg/cm² para f c 560 kg/cm² 0.85 f c fs Esfuerzos T C a/ T Fuerzas Columnas ACI 17

18 Usar las gráficas siguientes, realizando los siguientes cambios en los parámetros del RCDF: RCDF F R f*c f c Cambiar a Cambiar a Cambiar a ACI Ø 0.8 f c (β1) 0.8 f c 18

19 Gráfica de diseño en concreto por flexión 19

20 Gráficas de diseño para columnas de concreto 0

21 1

22

23 3

24 4

25 5

26 0.85 6

27 7

28 8

29 9

30 30

31 31

32 Diámetros, pesos, áreas y perímetros de barras Barra Diámetro Peso Área Perímetro núm. pulgada mm kg/m cm cm 1/ / / / / / / / / / / OBSERVACIONES Los diámetros, áreas y pesos se ajustan a la norma de la Secretaría de Comercio y Fomento Industrial NOM Según esta norma, el diámetro nominal y el área de una barra corresponden a los que tendrá una barra lisa, sin corrugaciones, del mismo peso por metro lineal; todas las barras, con excepción de la núm., están corrugadas. 3

33 Ayudas para la construcción en acero Sección 1.1 Esfuerzos permisibles Excepto en lo que se estipula en las siguientes secciones, todos los componentes de la estructura serán diseñados de tal manera que los esfuerzos, en kg/cm, no excedan los valores siguientes, excepto para lo que se establece en el Apéndice A. Ver Apéndice D para los esfuerzos permisibles en miembros de peralte variable Acero estructural Tensión Excepto para miembros conectados con pasadores, F t no excederá de 0.60 F y en el área total, ni de 0.50 F u en el área neta efectiva. Para miembros conectados con pasadores: F t = 0.45 F y en el área neta Cortante Exceptuando lo estipulado en las siguientes secciones, en el área efectiva de la sección transversal que resiste el esfuerzo cortante: F v = 0.40 F y En perfiles laminados y en perfiles armados, el área efectiva para resistir cortante podrá calcularse como el producto del peralte total por el espesor del alma En las conexiones de extremo de vigas, donde el patín superior esté cortado, y en situaciones similares donde puede ocurrir falla por cortante a lo largo de un plano que pase a través de los sujetadores, o por una combinación de cortante a lo largo de un plano que pase a través de los conectores, más tensión a lo largo de un plano perpendicular en el área efectiva para resistir falla por desgarramiento: F v = 0.30 F u El área efectiva es la superficie neta mínima de falla, limitada por los agujeros para tornillos. 33

34 Compresión En la sección total de miembros cargados en compresión axial, cuya sección transversal cumple con las disposiciones de la Sección 1.5, cuando Kl/r, la mayor relación de esbeltez efectiva de cualquier segmento no arriostrado, como se define en la Sección 1.4, es menor que C c: en donde: F a c Kl / r 1 F y Cc (1.1-1) 3 5 3Kl / r Kl / r 3 8C 8C C c 3 c E F y En la sección total de miembros en compresión axial, cuando Kl/r excede C c: 1 E Fa (1.1-) 3 Kl / r En la sección total de arriostramientos y en miembros secundarios cargados axialmente cuando l/r excede 10 (para este caso, K se considera igual a la unidad) Fa según fórmula(1.1-1) ó (1.1- ) Fa (1.1-3) l r En el área total de atiesadores de trabes armadas de alma llena: F a = 0.60 F y En el alma de perfiles laminados, al pie de la unión alma-patín (pandeo del alma debido a cargas concentradas, ver la Sección ) F a = 0.75 F y 34

35 Flexión Tensión y compresión en las fibras extremas de miembros compactos, laminados en caliente o armados (excepto vigas híbridas), cargados en el plano de su eje menor, simétricos con respecto a dicho eje y que cumplan con los requisitos de esta sección: F b = 0.66 F y Para que un miembro se califique bajo esta sección, debe cumplir con los siguientes requisitos: 1. Los patines estarán unidos continuamente al alma o almas.. La relación ancho/espesor de elementos no atiesados del patín en compresión, como se define en la Sección , no excederá de: 545 / F y 3. La relación ancho/espesor de elementos atiesados del patín en compresión, como se define en la Sección , no excederá de: / F y 4. La relación peralte/espesor del alma o almas no excederá el valor dado por las fórmulas (1.1-4a) ó (1.1-4b), según sea aplicable. d / t = f a cuando f a / F y 0.16 (1.1-4a) F y Fy d / t = 150 / F y cuando f a / F y 0.16 (1.1-4b) 5. La longitud entre soportes laterales del patín en compresión de miembros que no sean circulares o miembros en cajón no excederá el valor de: 637 b F y ni de d / Fy A 35

36 6. La longitud entre soportes laterales del patín en compresión de miembros de cajón de sección transversal rectangular, cuyo peralte no es mayor de seis veces el ancho y cuyo espesor del patín no es mayor de dos veces el espesor del alma, no excederá el valor de: ( M 1 b ) M Fy excepto que esta no necesita ser menor de: (b / F y) 7.- La relación diámetro/espesor de secciones circulares huecas no excederá de: / F y Excepto para vigas híbridas, las vigas (incluyendo los miembros diseñados con base en la acción compuesta) que satisfagan los requisitos de los párrafos 1 a 7 mencionados, y sean continuos sobre apoyos o estén rígidamente conectados a columnas por medio de remaches, tornillos de alta resistencia o soldaduras, podrán ser diseñadas para 9/10 de los momentos negativos producidos por cargas gravitacionales, los que son máximos en los puntos de apoyo, siempre que para tales miembros el momento máximo positivo sea incrementado en 1/10 del promedio de los momentos negativos. Esta reducción no procede para momentos generados por cargas aplicadas en voladizos. Si el momento negativo es resistido por una columna rígidamente conectada a la viga, la reducción de 1/10 podrá ser utilizada en el diseño de la columna para la combinación de carga axial concurrente sobre el miembro, no exceda 0.15 F a Los miembros (excepto vigas híbridas) que cumplan con los requisitos de la Sección , salvo que b f/t f exceda 545/ F, pero menor de 797/ F, podrán ser diseñados sobre la base de un esfuerzo de flexión permisible: y y F b = F y b f Fy (1.1-5a) t f Tensión y compresión en las fibras extremas de miembros I o H, doblemente simétricos, que cumplan los requisitos de la Sección , párrafos 1 y, y estén flexionados con respecto a su eje menor; así como barras sólidas cuadradas y redondas; secciones sólidas rectangulares flexionadas con respecto a su eje menor: F b = 0.75 F y 36

37 Los miembros I y H, doblemente simétricos, flexionados con respecto a su eje menor (excepto vigas híbridas), que cumplan los requisitos de la Sección , párrafo 1, salvo que b f/t f exceda 545/ F, pero que sea menor de 797/ F, podrán ser diseñados con base en un esfuerzo permisible de flexión: y y F b = F y b f Fy (1.1-5b) t f Las secciones tubulares rectangulares flexionadas con respecto a su eje menor, y que cumplan con los requisitos de la Sección , párrafos 1, 3 y 4, podrán ser diseñadas con base en un esfuerzo permisible de flexión: F b = 0.66 F y Tensión y compresión en las fibras extremas de miembros en cajón a flexión, cuyo patín en compresión o la relación ancho/espesor del alma no cumplan con los requisitos de la Sección , pero que esté conforme con los requisitos de la sección 1.9: F b = 0.60 F y Para una sección en cajón, el pandeo lateral por torsión no necesita ser investigado cuando su peralte sea menor de seis veces su ancho. Los requisitos de soporte lateral para secciones en cajón con relación peralte/ancho mayor deben ser determinados por un análisis especial En las fibras extremas de miembros a flexión, no incluidos en las Secciones , , , ó : 1.- Tensión: F b = 0.60 F y.- Compresión: a) Para miembros que cumplan con los requisitos de la Sección , que tengan un eje de simetría en el plano del alma y que estén cargados en el plano de esta y compresión en las fibras extremas de perfiles CE flexionados con respecto a su eje mayor: el mayor de los valores calculados con las fórmulas (1.1-6a) ó (1.1-6b) y (1.1-7), según sea el caso [solo la formula (1.1-7) es aplicable en perfiles CE] (a menos que un valor mayor se justifique sobre la base de un análisis más preciso), pero no mayor de 0.60 Fy Cuando 717 x F 10 y 4 C b l r x F y 10 4 C b 37

38 Entonces: F b Fy l / r F (1.1-6a) 5 y x 10 C b Cuando: l / r x 10 F y 4 C b entonces: F b 5 10 x 10 C b (1.1-6b) l / r Cuando el patín en compresión sea sólido y aproximadamente rectangular en la sección transversal y su área no sea menor que la del patín en tensión: F b 844 x 10 ld / A 3 C b (1.1-7) En estas fórmulas: l = distancia entre secciones transversales arriostradas, para evitar el giro o desplazamiento lateral del patín en compresión. Para vigas en voladizo o arriostradas para evitar el giro solo en el apoyo, l puede ser tomada conservadoramente como su longitud real, en cm. r = radio de giro de una sección que comprende el patín en compresión más un tercio del área del alma en compresión tomada con respecto a un eje en el plano del alma, en cm. A área del patín en compresión, en cm C b = (M1 / M) (M1 / M), pero no mayor de.3 donde M1 es el menor y M el mayor de los momentos de flexión en los extremos de la longitud no arriostrada, tomados respecto al eje mayor del miembro, y esta relación M1 / M es positiva cuando M1 y M tienen el mismo signo (flexión con curvatura doble), y negativo cuando estos tienen signos opuestos (flexión con curvatura simple). Cuando el momento de flexión en cualquier punto de la longitud no arriostrada es mayor que en cualquiera de los extremos, el valor de Cb se tomará como la unidad. Cuando se calcule Fbx y Fby para usarse la fórmula (1.-1a), Cb puede calcularse por la fórmula dada anteriormente para marcos propensos a traslación de juntas, y se tomará como la unidad para marcos arriostrados que eviten la traslación de juntas. Cb podrá tomarse conservadoramente como la unidad para vigas en voladizo. Para vigas híbridas, Fy para las fórmulas (1.1-6a) y (1.1-6b) es el esfuerzo de fluencia del patín en compresión. La fórmula (1.1-7) no se aplicará a vigas híbridas. b) Para miembros que cumplan los requisitos de la de la Sección , pero no incluidos en el párrafo a de esta sección: Fb = 0.60 Fy 38

39 Siempre que las secciones flexionadas con respecto a su eje mayor estén arriostradas lateralmente en la región del esfuerzo de compresión, a intervalos no mayores de: 637b / F y Aplastamiento En el área de contacto de superficies aisladas, y en los extremos de atiesadores de carga ajustados; en el área proyectada de agujeros escareados, taladrados o barrenados para pasadores: Fp = 0.90 Fy En rodillos de expansión y en balancines, en kg/cm: F p Fy d 1400 donde d es el diámetro del rodillo o del balancín, en cm 39

40 Sección 1. Estabilidad y relaciones de esbeltez 1..1 Generalidades Una estructura deberá ser estable en su totalidad y en cada uno de sus miembros. En el diseño deberán tomarse en cuenta los efectos significativos de las cargas que resultan de la deformación de la estructura o de los elementos individuales del sistema que soporta las cargas laterales, incluyendo los efectos sobre vigas, columnas, arriostramientos, conexiones y muros de cortante. Para determinar la relación de esbeltez de un miembro cargado en compresión axial, Kl será su longitud efectiva y r el radio de giro correspondiente, excepto lo estipulado en la Sección Marcos arriostrados (desplazamiento lateral impedido) El factor de longitud efectiva, K, para miembros a compresión de armaduras y de aquellos marcos cuya estabilidad lateral se logra mediante una adecuada unión con arriostramiento en diagonal, muros de cortante, una estructura adyacente que tenga estabilidad lateral adecuada, losas de piso o de techo fijadas horizontalmente por muros o por arriostramientos paralelos al plano del marco será tomado como la unidad, a menos que un estudio demuestre que puede usarse un valor menor Marcos no arriostrados (desplazamiento lateral permitido) En marcos donde la estabilidad lateral depende de la rigidez a la flexión de las vigas y columnas unidas rígidamente, la longitud efectiva, Kl, de los miembros en compresión, se determinará por un método racional, y no será menor que la longitud no arriostrada Relaciones máximas de esbeltez La relación de esbeltez, Kl/r, de miembros en compresión no excederá de 00. La relación de esbeltez, Kl/r, de miembros en tensión que no sean barras, preferiblemente no excederá de: Para miembros principales 40 Para miembros del arriostramiento lateral y otros secundarios

41 Sección 1.3 Relaciones ancho-espesor Elementos en compresión no atiesados Los elementos en compresión no atiesados son aquellos que tienen un borde libre paralelo a la dirección del esfuerzo de compresión. El ancho de las placas no atiesadas se tomará desde el borde libre hasta la primera fila de sujetadores o soldaduras; el ancho de los lados de ángulos y de los patines de perfiles CE, así como del alma de secciones en T, se tomará como la dimensión total nominal; el ancho de los patines de los perfiles I y T se tomará como la mitad del ancho total nominal. El espesor de un patín de espesor variable se medirá a la mitad de la distancia entre su borde libre y la cara correspondiente del alma Los elementos no atiesados sometidos a compresión axial o a compresión debida a la flexión, se considerarán como totalmente efectivos cuando la relación ancho-espesor no sea mayor de: 640/ en puntales formados por un ángulo o dos ángulos con separadores. F y 800 / en puntales formados por dos ángulos en contacto; ángulos o placas en F y compresión que sobresalgan de las trabes, columnas u otros miembros en compresión; patines en compresión de vigas; atiesadores de trabes armadas de alma llena / en almas de perfiles T. F y Cuando la relación ancho-espesor excede estos valores, el esfuerzo de diseño se regirá por otros valores Elementos en compresión atiesados Los elementos en compresión atiesados son aquellos que están soportados lateralmente a lo largo de los dos bordes paralelos a la dirección del esfuerzo de compresión. Su ancho es igual a la distancia entre las líneas más cercanas de sujetadores o soldaduras, o entre las raíces de los patines, en el caso de secciones laminadas. 41

42 Esfuerzos admisibles en kg/cm para miembros en compresión (acero A 36) Miembros principales y secundarios Miembros principales Miembros secundarios con Kl/r no mayor de 10 con Kl/r de 10 a 00 con l/r de 10 a 00 K = 1 Kl/r Fa Kl/r Fa Kl/r Fa Kl/r Fa Kl/r Fa Kl/r Fa Kl/r Fa kg/cm kg/cm kg/cm kg/cm kg/cm kg/cm kg/cm

43 Flujo a superficie libre Ecuaciones fundamentales de la hidráulica Ecuación de Bernoulli. 1.- Concepto. CH 1 v1 P1 z1 g Diseño hidráulico CH 1 = carga hidráulica en el punto 1 (metros de columna de agua) z 1 = elevación del punto 1 respecto a un nivel de referencia (m) v1 = carga hidráulica por velocidad en el punto 1 (metros de columna de agua) g P 1 = carga hidráulica de presión (metros de columna de agua). P 1 = presión del agua en el punto 1 (kg/m²) v 1 = velocidad del agua en el punto 1 γ = kg/m³..- Planteamiento entre dos puntos CH final CH inicial hf hf = pérdidas de carga en la trayectoria (mca) 3.- Considerando bombeo en la trayectoria CH Hb 1 CH Hb = carga hidráulica de presión en la bomba (mca) 4.- Considerando turbina en la trayectoria p1 v1 p z1 hf T z g v g T = carga hidráulica cedida a la turbina (mca) 43

44 Canales Diseño de canales en flujo uniforme. Variables A Q n b s d t Definición Área total en m Gasto de diseño(m³/s) Número de Manning Plantilla del fondo (m) Pendiente del fondo(m/m) Tirante (m) Talud (m) Partiendo de la ecuación de Manning para la velocidad R v /3 S n 1/ Radio hidráulico Velocidad de sección óptima vn R s 3 / 1/ v max Qs 4rn 3/ 3 1/ 4 r 1 t² t Área de flujo Q A v A bd td ² Perímetro húmedo P A R P b d (1 t²) Tirantes y plantillas P P 4rA d1 r A b1 td 1 d P P 4rA d r A b td d 1 r 1 t² t 44

45 Tirante crítico en un canal rectangular En un canal rectangular donde q = Vy es el gasto por unidad de ancho, se tiene q² E y gy² La energía específica tiene un valor mínimo que se obtiene igualando de dy o sea, y c 0 g q ² 1/ 3 de dy q² 1 gy 3 Este tirante se conoce como tirante crítico. Si se elimina q² de las ecuaciones anteriores se tiene E 1. 5 mín y c Tirante crítico en un canal trapecial En canales trapeciales como se ilustra en la figura siguiente la energía específica toma la forma: Q² E y ga² donde A es el área de la sección transversal. Para encontrar el tirante crítico, se tiene de dy 0 1 Q² ga da dy De la figura la relación entre da y dy se puede expresar mediante da Tdy donde T es el ancho de la sección transversal en la superficie del líquido: T b x Para el tirante crítico, entonces, 3 Q² ga T 3 c c con 1 x t y 1 x ty T b ty 45

46 Tubería circular trabajando como canal Cálculos Variable Elemento Unidad D diámetro m d tirante m n rugosidad S pendiente m/m Variable Elemento Unidad Fórmulas ángulo w central radianes 1 w cos 1 d / D área de A flujo m² A D² ( w senw) 8 perímetro P mojado m P D w R radio hidráulico m A R P velocidad v del flujo m/s v R / 3 S n 1/ Q gasto m³/s Q va 46

47 Compuertas planas rectangulares Descarga libre. Se da si y 1 y a a 1.7 m³/s b = ancho de la compuerta (m); a = abertura de la compuerta (m) Ecuaciones para el coeficiente de descarga Cd C S d Q C ba Cd=0.6 d gy y a Descarga ahogada. Se da si Si y1/a<10 Si y1/a>10 y 1 a 1.7 y a 47 Q Cdba gy 1 Ecuación para Cd y1 y1 Φ,Ψ y C a A1 3 c A A3 CcA1 A1 A Cd A3 1/

48 Vertedores rectangulares de pared delgada C C 0.6 C d Q C bh 3 d 3/ (m³/s); g. 95 Ecuaciones para el coeficiente b = ancho del vertedor (m). v1 H h g Vertedores rectangulares de pared delgada sin contracciones laterales 48

49 1. Método de Hegly Límites de aplicación Variable inferior superior h(m) b(m) w(m) Componentes de la ecuación de. Bb Primero ( ) B Segundo h b Tercero 0.55( ) B (Componente A ) A B) (1 CD) (Componente B ) (Componente C ) h Cuarto ( ) h w (Componente D ). Método de Rehbock (vertedores sin contracciones laterales) Límites de aplicación (primeras restricciones) Variable inferior superior h(m) b(m) 0.30 w(m) 0.06 h/w 1 h A ( ) w B 1 h Vertedores rectangulares de pared delgada con contracciones laterales AB 3 / 49

50 3.- Método de Hamilton-Smith Límites de aplicación (primeras restricciones) Variable inferior superior h(m) b(m) 0.3 w(m) 0.3 Límites de aplicación (segundo grupo de restricciones) w h h b ( B h) b b B Vertedores rectangulares de pared gruesa. Cuando e/h> 0.67 Q C bh 3 / 1 d (m³/s); (b=ancho del vertedor). Cd = coeficiente del vertedor como si fuera de pared delgada. Corrección por espesor del muro del vertedor (coeficiente 1). Si 0.67<e/h< e / h Si e/h> e / h 50

51 Vertedores rectangulares sumergidos (m³/s) = corrección por sumergencia según el valor de h h Vertedor de cresta redondeada controlado por compuertas radiales h Q C bh 3 / 1 d 51

52 Cortina vertedora de cresta libre Vertedores triangulares Método de Hegly para vertedores triangulares. Vale para = 90 grados y Hay que subir 0.10 m<h<0.50 m y valores de w pequeñas 8 5/ Q g tan( ) h 15 Método de Gourley y Crimp h h B( h w).48 Q 1.3 tan h 5

53 Salto hidráulico (canales rectangulares). Las variables típicas involucradas en el salto hidráulico se presentan en la figura siguiente. Variable y 1 A 1 V 1 y 1²/ vc y ²/ A y V Q Definición tirante antes del salto (m) área de flujo antes del salto (m²) velocidad del agua antes del salto (m/s) empuje hidrostático antes del salto (kg) longitud del salto (m) empuje hidrostático después del salto (kg) área de flujo después del salto (m²) tirante después del salto (m) velocidad del agua después del salto (m/s) gasto de la corriente (m³/s) 1 y y1 y1 V 1 y g Empujes hidrostáticos (b = ancho, m). 1.- Empuje horizontal en una cara plana vertical. P h 1 ( h 1 )( b)/ z k ( 1/ 3) h 1 53

54 .- Empuje hidrostático en una cara inclinada. Fuerzas Definición Unidad distancia(m) Momento Unidad P Empuje kg z k M P kg-m P ( h a1 )( a ) b a h a 1 z k ( ) 3 h a1 M P z P k 3.- Reacción vertical en un muro trapezoidal. 1 h a sen a P y P cos F 1 y 0 Ry P cos W MURO Ry W MURO P cos 4.- Ubicación de viguetas en muro metálico. (B = ancho del muro en metros n = número de viguetas). No permitiendo el vertido superior.(están encimadas las figuras H ( H) H P B z k 3 ( P / 4) hn 1 hn B x n1 h h ( n n1 h 3 n h )( h h z P o ( h z ) o B n1 n1 h h n n ) P P i n 54

55 55 Permitiendo el vertido superior. k= número del larguero desde la parte superior del muro B P z z i i 0 3/ 3/ 1 3 m k m k m n h z k 1 0 z h n m

56 5.- Fuerzas en cortina de concreto (a = ancho de la cortina en metros; c = 400 kg/m³). H Eh M x Eh O M a S1 C c( bl h) a S1 O M Ry S O M Es O Bh S a H a C Es ( c B)( ) Empujes hidrodinámicos 1.- Compuertas planas rectangulares y cortina vertedora (b = ancho, m). Ry S1 S Es Cortina Vertedora. A 1, y1,b 1, y1 b E1 Q v 1, 1, A1, Fp E E 1 Fd Fd g Q g 1 Q1v 1 v E Fd Fd Fd 1 Fx Fd Fp yb 56

57 . Cortina vertedora (b = ancho, m). A 1, y1,b 1, y1 b E1 Q v 1, 1, A1, E Fp E E 1 Fd1 Q1v 1 g Fd Qv g Fd Fd Fd 1 yb Fx Fd Fp 3.- Pilas de puentes. Fx Fd Fp Variable Literal Unidad Separación entre pilas S m Velocidad v 1 m/s Tirante aguas arriba H 1 m Tirante aguas abajo H m Q v Q v1 A v1h 1S A Fd1, ( / g)( Q1, )( v1, ) Fp 1, y1, / ) ( b Fp Fp Fp 1 1, Q H S Fd Fd Fd 1 57

58 4.- Pieza especial con doble cambio de dirección (g = 9.81 m/seg²; = kg/m³). Fy Fdy Fpy v Q 1,,3 1,,3 / A1,,3 Q,3 Q1 / Fx Fdx Fpx ² / 4 1,,3 D1,,3 Secciones Q(m³/s) D(m) p(kg/cm²) 1 Q 1 D 1 P 1 Q D? 3 Q 3 D 3? A CH P 1 P1 v1 / / g z,3 0.1( CH1 v,3 / / g z Fd1,,3 ( / g)( Q1,,3 )( v1,, 3) Fdx Fd Cos( )) 1,,3 1,,3( 1,, 3 1,,3 1,,3( Sen( 1,, 3 Fdy Fd Fpy Fdx Fp 1 )),3 Fpy salida Fpy entrada Fdx salida Fdx entrada 1,,3 p1,,3 A1,, Fpx Fp ( 3 ) ( Cos( 1,, 3)) Sen( )) 1,,3 1,,3 1,,3 1,,3( 1,, 3 Fpy Fp Fpx Fpy Fpx salida Fpx entrada Fpy salida Fpy entrada 58

59 Abastecimiento de agua Diseño ambiental Método de los mínimos cuadrados para determinar la población de proyecto (P), con el ajuste lineal: P = a+bt; a = P i b = N t ipi tipi ; en donde N= número total de N Nt t b t i ; datos, t i = suma de los años con información, P i = suma del número de habitantes. Gastos medio diario, máximo diario y máximo horario: DP Q MED = QMED : gasto medio diario, en L/s D: dotación, en L/hab/día. P: número de habitantes s/día. Q Md = CV d x Qmed QMd: gasto máximo diario, en L/s. QMh: gasto máximo horario, en L/s. Q Mh = CV h x QMd CVd : coeficiente de variación diaria. CVh : coeficiente de variación horaria. Línea de conducción por gravedad: Q = VA V = (Re) D h ft = KL TQ H = h f1 + h f = h ft S T = H/L T K = S T/Q S H = KQ L 1 = H - L T S H SH - SH1 L = H - L T S H1 SH1 - SH L T = L 1 + L Fórmula de Depuit: i Q: gasto, en L/s V: velocidad del agua, en m/s A: área, en m V: velocidad del agua, en m/s i : viscosidad, en m /s Re: número de Reynolds D: diámetro de la tubería en m h ft: pérdidas por fricción total, en mca K: constante de Manning L T: longitud total de la conducción, en m H: desnivel topográfico, en m S T: pendiente topográfica S H: pendiente hidráulica L 1: longitud para el diámetro 1, en m D = 1.5 Q D: diámetro medio, en pulgadas 59

60 Línea de conducción por bombeo: A = D A: área, en m D: diámetro en m K = 10.93h 16/3 K: constante de Manning D h s = 5% h f HP = Q x CDT 76 h = 1 145V E E a T CDT = - V g D e Fórmula de Manning: + H + h ft + h s + h T + t amt h s: pérdidas por fricción secundarias, en mca HP: caballos de fuerza Q: gasto en L/s CDT: carga dinámica total, en mca : coeficiente de rugosidad de Manning. h: valor del golpe de ariete, en mca V: velocidad del agua, en m/s E a: módulo de elasticidad del agua E T: módulo de elasticidad del material de la tubería D: diámetro, en cm e: espesor, en cm h T: altura del tanque, en m t amt: tirante de aguas máximas en el tanque, en m V = 1 R/3 S 1/ R: radio hidráulico, en m Fórmula para cálculos hidráulicos de tuberías a presión: S: pendiente : coeficiente de rugosidad de Manning V: velocidad, en m/s LV H f H = pérdidas de energía, en m D g f = coeficiente de fricción L = longitud del tubo, en m V = velocidad media, en m/s g = aceleración de la gravedad, en m/s² D = diámetro interno del tubo, en m 60

61 Sistemas de alcantarillado Fórmula de gasto medio para aguas negras en un tramo de la red: Q MED Ap P Q MED: gasto medio de aguas negras, L/s A p: aportación de aguas negras en L/hab/día P: población : segundos/día Fórmula de Harmon M = P P: población M: coeficiente de Harmon Fórmula racional para alcantarillado pluvial Q =.778 CiA i: intensidad de la lluvia, mm/h A: área desaguada, ha C: coeficiente de escurrimiento de impermeabilidad Fórmula de Burkli-Ziegler para alcantarillado pluvial Q = KA 3/4 ; K =.778 CIS 1/4 Q: gasto, L/s A: área, ha I: intensidad de la lluvia, mm/h S: pendiente topográfica, milésimos 61

62 Deformaciones en suelos. k + P + P = 0 e C Diseño de cimentaciones Capacidad de carga ne HM i Z i i = 1 Suelo puramente cohesivo Suelo puramente friccionante q C = CN C + Df Nq B N q adm = CN F. S. C C 0, = 0 + Df q adm = CN + Df Nq BN C F. S. Cimentaciones someras H = e 1 + e 0 H Cimentación totalmente compensada h = q n S S q n h H C = altura crítica H C = 4c H c, F. S. = C N Df C + q q q Df c, 6

63 W = peso específico del agua h W S h S W h W H S S Cimentaciones profundas qf = D Ladh q P = C N C + F. S. Df p Normas técnicas complementarias para diseño y construcción de cimentaciones Tabla de requisitos mínimos para la investigación del subsuelo a) Construcciones ligeras o medianas de poca extensión y con excavaciones someras Son de esta categoría las edificaciones que cumplen con los siguientes tres requisitos: Peso unitario medio de la estructura w 40 kpa (4 t/m²) Perímetro de la construcción: P 80 m en las zonas I y II; o P 10 m en la zona III Profundidad de desplante Df.5 m ZONA I 1) Detección por procedimientos directos, eventualmente apoyados en métodos indirectos, de rellenos sueltos, galerías de minas, grietas y otras irregularidades. ) Pozos a cielo abierto para determinar la estratigrafía y propiedades de los materiales y definir la profundidad de desplante. 3) En caso de considerarse en el diseño del cimiento un incremento neto de presión mayor de 80 kpa (8 t/m²), el valor recomendado deberá justificarse a partir de los resultados de las pruebas de laboratorio o de campo realizadas. ZONA II 1) Inspección superficial detallada después de limpieza y despalme del predio para detección de rellenos sueltos y grietas. ) Pozos a cielo abierto para determinar la estratigrafía y propiedades de los materiales y definir la profundidad de desplante. 3) En caso de considerarse en el diseño del cimiento un incremento neto de presión mayor de 50 kpa (5 t/m²), bajo zapatas o de 0 kpa ( t/m²), bajo losa general, el valor recomendado deberá justificarse a partir de los resultados de las pruebas de laboratorio o de campo realizadas. ZONA III 1) Inspección superficial detallada después de limpieza y despalme del predio para detección de rellenos sueltos y grietas. ) Pozos a cielo abierto complementados con exploraciones más profundas, por ejemplo con posteadora, para determinar la estratigrafía y propiedades de los materiales y definir la profundidad de desplante. 3) En caso de considerarse en el diseño de cimiento un incremento neto de presión mayor de 40 kpa (4 t/m²), bajo zapatas o de 15 kpa (1.5 t/m²) bajo losa general, el valor recomendado deberá justificarse a partir de los resultados de las pruebas de laboratorio o de campo realizadas. 63

64 b) Construcciones pesadas, extensas o con excavaciones profundas Son de esta categoría las edificaciones que tienen al menos una de las siguientes características: Peso unitario medio de la estructura w > 40 kpa (4 t/m²) Perímetro de la construcción: P > 80 m en las Zonas I y II; o P > 10 m en la Zona III Profundidad de desplante Df >.5 m ZONA I 1) Detección, por procedimientos directos, eventualmente apoyados en métodos indirectos, de rellenos sueltos, galerías de minas, grietas y otras oquedades. ) Sondeos o pozos profundos a cielo abierto para determinar la estratigrafía y propiedades de los materiales y definir la profundidad de desplante. La profundidad de la exploración con respecto al nivel de desplante será al menos igual al ancho en planta del elemento de cimentación, pero deberá abarcar todos los estratos sueltos o compresibles que puedan afectar el comportamiento de la cimentación del edificio. ZONA II 1) Inspección superficial detallada después de limpieza y despalme del predio para detección de rellenos sueltos y grietas. ) Sondeos para determinar la estratigrafía y propiedades índice y mecánicas de los materiales del subsuelo y definir la profundidad de desplante mediante muestreo y/o pruebas de campo. En por lo menos uno de los sondeos, se obtendrá un perfil estratigráfico continuo con la clasificación de los materiales encontrados y su contenido de agua. Además, se obtendrán muestras inalteradas de los estratos que puedan afectar el comportamiento de la cimentación. Los sondeos deberán realizarse en número suficiente para verificar si el subsuelo del predio es uniforme o definir sus variaciones dentro del área estudiada. 3) En caso de cimentaciones profundas, investigación de la tendencia de los movimientos del subsuelo debidos a consolidación regional y determinación de las condiciones de presión del agua en el subsuelo, incluyendo detección de mantos acuíferos colgados. ZONA III 1) Inspección superficial detallada después de limpieza y despalme del medio para detección de rellenos sueltos y grietas. ) Sondeos para determinar la estratigrafía y propiedades índice y mecánicas de los materiales y definir la profundidad de desplante mediante muestreo y/o pruebas de campo. En por lo menos uno de los sondeos se obtendrá un perfil estratigráfico continuo con la clasificación de los materiales encontrados y su contenido de agua. Además, se obtendrán muestras inalteradas de los estratos que puedan afectar el comportamiento de la cimentación. Los sondeos deberán realizarse en número suficiente para verificar si el subsuelo del predio es uniforme o definir sus variaciones dentro del área estudiada. 3) En caso de cimentaciones profundas, investigación de la tendencia de los movimientos del subsuelo debidos a consolidación regional y determinación de las condiciones de presión del agua en el subsuelo, incluyendo detección de mantos acuíferos colgados. Tabla Límites máximos para movimientos y deformaciones originados en la cimentación 1 a) Movimientos verticales (hundimiento o emersión) Concepto En la zona I: Valor medio en el área ocupada por la construcción: Asentamiento: Construcciones aisladas () 5 cm Construcciones colindantes.5 cm Límite En las zonas II y III: Valor medio en el área ocupada por la construcción: Asentamiento: Construcciones aisladas 30 cm () Construcciones colindantes 15 cm Emersión: Construcciones aisladas 30 cm () Construcciones colindantes 15 cm Velocidad del componente diferido 1 cm/semana 64

65 b) Inclinación media de la construcción Tipo de daño Límite Observaciones Inclinación visible 100 / ( hc) por ciento h c = altura de la construcción en m Mal funcionamiento de grúas viajeras 0.3 por ciento En dirección longitudinal c) Deformaciones diferenciales en la propia estructura y sus vecinas Tipo de estructuras Variable que se limita Límite Marcos de acero Relación entre el asentamiento diferencial entre apoyos y el claro Marcos de concreto Relación entre el asentamiento diferencial entre apoyos y el claro Muros de carga de tabique de barro o Relación entre el asentamiento bloque de concreto diferencial entre extremos y el claro Muros con acabados muy sensibles, Relación entre el asentamiento como yeso, piedra ornamental, etc. diferencial entre extremos y el claro Paneles móviles o muros con acabados poco sensibles, como mampostería con juntas secas Se tolerarán valores mayores en la medida en que la deformación ocurra antes de colocar los acabados o estos se encuentren desligados de los muros. Relación entre el asentamiento diferencial entre extremos y el claro Tuberías de concreto con juntas Cambios de pendiente en las juntas Comprende la suma de movimientos debidos a todas las combinaciones de carga que se especifican en el Reglamento y las Normas Técnicas Complementarias. Los valores de la tabla son solo límites máximos y en cada caso habrá que revisar que no se cause ninguno de los daños mencionados al principio de este Capítulo. En construcciones aisladas será aceptable un valor mayor si se toma en cuenta explícitamente en el diseño estructural de los pilotes y de sus conexiones con la subestructura. Factores de carga y de resistencia Los factores de carga, FC, que deberán aplicarse a las acciones para el diseño de cimentaciones serán los indicados en la sección 3.4 de las Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño de Estructural de las Edificaciones: Para determinar el factor de carga, FC, se aplicarán las reglas siguientes: a) Para las combinaciones que incluyan acciones permanentes y acciones variables, se considerarán todas las acciones permanentes que actúen sobre la estructura y las distintas acciones variables, de las cuales la más desfavorable se tomará con su intensidad máxima y el resto con su intensidad instantánea, o bien todas ellas con su intensidad media cuando se trate de evaluar efectos a largo plazo, se aplicará un factor de carga de 1.4. Cuando se trate de edificaciones del Grupo A, el factor de carga para este tipo de combinación se tomará igual a 1.5. b) Para las combinaciones que incluyan acciones permanentes, variables y accidentales, se considerarán todas las acciones permanentes, las acciones variables con sus valores instantáneos y únicamente una acción accidental en cada combinación, se tomará un factor de carga de 1.1 aplicado a los efectos de todas las acciones que intervengan en la combinación. c) Para acciones o fuerzas internas cuyo efecto sea favorable a la resistencia o estabilidad de la estructura, el factor de carga se tomará igual a 0.9; además, se tomará como intensidad de la acción el valor mínimo probable. d) Para revisión de estados límite de servicio se tomará en todos los casos un factor de carga unitario. Para estados límite de falla se aplicará un factor de carga de 1.1 al peso propio del suelo y a los que puede desarrollarse en el fuste de los pilotes o pilas por empujes laterales de este. La acción de la subpresión y de la fricción negativa se tomará con un factor de carga unitario. 65

66 Los factores de resistencia, FR, relativos a la capacidad de carga de cimentaciones determinada a partir de estimaciones analíticas o de pruebas de campo serán los siguientes para todos los estados límite de falla: a) FR = 0.35 para la capacidad de carga ante cualquier combinación de acciones en la base de zapatas de cualquier tipo en la zona I, zapatas de colindancia desplantadas a menos de 5 m de profundidad en las zonas II y III y de los pilotes y pilas apoyados en un estrato resistente; y b) FR = 0.70 para los otros casos. Los factores de resistencia se aplicarán a la capacidad de carga neta de las cimentaciones. 3.3 Cimentaciones someras (zapatas y losas) Estados límite de falla Para cimentaciones someras desplantadas en suelos sensiblemente uniformes se verificará el cumplimiento de las desigualdades siguientes para las distintas combinaciones posibles de acciones verticales. En esta verificación, tomando en cuenta la existencia, especialmente en las zonas I y II, de materiales cementados frágiles que pueden perder su cohesión antes de que se alcance la deformación requerida para que se movilice su resistencia por fricción, se considerará en forma conservadora que los suelos son de tipo puramente cohesivo o puramente friccionante. Para cimentaciones desplantadas en suelos cohesivos: Para cimentaciones desplantadas en suelos friccionantes: (3.1) donde (3.) QFC es la suma de las acciones verticales a tomar en cuenta en la combinación considerada en el nivel de desplante, afectada por su respectivo factor de carga; A Pv P v es el área del cimiento; es la presión vertical total a la profundidad de desplante por peso propio del suelo; es la presión vertical efectiva a la misma profundidad; 66

67 C u (UU); B Nc es el peso volumétrico del suelo; es la cohesión aparente determinada en ensaye triaxial no consolidado no drenado, es el ancho de la cimentación; es el coeficiente de capacidad de carga dado por: Nc = 5.14 ( D f /B + 0.5B/L) (3.3) para D f /B < y B/L < 1; donde D f, es la profundidad de desplante y L la longitud del cimiento; en caso de que D f /B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores, dichas relaciones se considerarán iguales a y a 1, respectivamente; Nq es el coeficiente de capacidad de carga dado por: Nq =e tan tan² (45 + /) (3.4) donde es el ángulo de fricción interna del material, que se define más adelante. El coeficiente Nq se multiplicará por: 1+(B/L)tan para cimientos rectangulares y por 1+tan para cimientos circulares o cuadrados; N es el coeficiente de capacidad de carga dado por: N =(Nq +1)tan (3.5) El coeficiente N se multiplicará por 1-0.4(B/L) para cimientos rectangulares y por 0.6 para cimientos circulares o cuadrados; y F R es el factor de resistencia También podrá utilizarse como alternativa a las ecuaciones una expresión basada en los resultados de pruebas de campo, respaldada por evidencias experimentales confirmadas en los suelos del Distrito Federal. Además, al emplear las relaciones anteriores se tomará en cuenta lo siguiente: a) El parámetro estará dado por: = Ang tan ( tan *) (3.6) donde * es el ángulo con la horizontal de la envolvente de los círculos de Mohr a la falla en la prueba de resistencia que se considere más representativa del comportamiento del suelo en las condiciones de trabajo. Esta prueba deberá considerar la posibilidad de que el suelo pierda parte de su resistencia. Para suelos arenosos con compacidad relativa D r menor de 67 por ciento, el coeficiente a será igual a 0.67+D r-0.75d r². Para suelos con compacidad mayor que el límite indicado, a será igual a 1. 67

68 b) La posición del nivel freático considerada para la evaluación de las propiedades mecánicas del suelo y de su peso volumétrico deberá ser la más desfavorable durante la vida útil de la estructura. En caso de que el ancho B de la cimentación sea mayor que la profundidad Z del nivel freático bajo el nivel de desplante de la misma, el peso volumétrico a considerar en la ecuación será: donde = +(Z/B) ( m- ) (3.7) es el peso volumétrico sumergido del suelo entre las profundidades Z y (B/) tan(45º+/); y m es el peso volumétrico total del suelo arriba del nivel freático. c) En el caso de combinaciones de cargas (en particular las que incluyen solicitaciones sísmicas) que den lugar a resultantes excéntricas actuando a una distancia e del eje longitudinal del cimiento, el ancho efectivo del mismo deberá considerarse igual a: B = B-e (3.8) Un criterio análogo se aplicará en la dirección longitudinal del cimiento para tomar en cuenta la excentricidad respectiva. Cuando se presente doble excentricidad (alrededor de los ejes X y Y), se tomarán las dimensiones reducidas en forma simultánea, y el área efectiva del cimiento será A = B L. Para tomar en cuenta, en su caso, la fuerza cortante al nivel de la cimentación, se multiplicarán los coeficientes Nq y Nc de las ecuaciones 3.1 y 3. por (1 - tan)², donde es la inclinación de la resultante de las acciones respecto a la vertical. d) En el caso de cimentaciones sobre un estrato de suelo uniforme de espesor H bajo el nivel de desplante y apoyado sobre un estrato blando, se seguirá el criterio siguiente: 1) Si H 3.5B se ignorará el efecto del estrato blando en la capacidad de carga. ) Si 3.5B>H 1.5B se verificará la capacidad de carga del estrato blando suponiendo que el ancho del área cargada es B+H. 3) Si H < 1.5B se verificará la capacidad de carga del estrato blando suponiendo que el ancho del área cargada es: B[1+/3(H/B)²] (3.9) 4) En el caso de cimientos rectangulares se aplicará a la dimensión longitudinal un criterio análogo al anterior. 68

69 e) En el caso de cimentaciones sobre taludes se verificará la estabilidad de la cimentación y del talud recurriendo a un método de análisis límite considerando mecanismos de falla compatibles con el perfil de suelos y, en su caso, con el agrietamiento existente. En esta verificación, el momento o las fuerzas resistentes serán afectados por el factor de resistencia f) En el caso de cimentaciones desplantadas en un subsuelo heterogéneo o agrietado para el cual no sea aplicable el mecanismo de falla por corte general en un medio homogéneo implícito en las ecuaciones 3.1 y 3., se verificará la estabilidad de la cimentación recurriendo a un método de análisis límite de los diversos mecanismos de falla compatibles con el perfil estratigráfico. Además de la falla global, se estudiarán las posibles fallas locales, es decir aquellas que pueden afectar solamente una parte del suelo que soporta el cimiento, y la posible extrusión de estratos muy blandos. En las verificaciones anteriores, el momento o la fuerza resistente serán afectados por el factor de resistencia g) No deberán cimentarse estructuras sobre zapatas aisladas en depósitos de limos no plásticos o arenas finas en estado suelto o saturado, susceptibles de presentar pérdida total o parcial de resistencia por generación de presión de poro o deformaciones volumétricas importantes bajo solicitaciones sísmicas. Asimismo, deberán tomarse en cuenta las pérdidas de resistencia o cambios volumétricos ocasionados por las vibraciones de maquinaria en la vecindad de las cimentaciones desplantadas en suelos no cohesivos de compacidad baja o media. Para condiciones severas de vibración, el factor de resistencia a considerar en las ecuaciones 3.1 y 3., deberá tomarse igual a la mitad del definido para condiciones estáticas, a menos que se demuestre a satisfacción de la Administración, a partir de ensayes de laboratorio en muestras de suelo representativas, que es aplicable otro valor. h) En caso de que se compruebe la existencia de galerías, grietas, cavernas u otras oquedades, estas se considerarán en el cálculo de capacidad de carga. En su caso, deberán mejorarse las condiciones de estabilidad adoptándose una o varias de las siguientes medidas: 1) Tratamiento por medio de rellenos compactados, inyecciones ) Demolición o refuerzo de bóvedas 3) Desplante bajo el piso de las cavidades 3.3. Estados límite de servicio Los asentamientos instantáneos de las cimentaciones bajo solicitaciones estáticas se calcularán en primera aproximación usando los resultados de la teoría de la elasticidad previa estimación de los parámetros elásticos del terreno, a partir de la experiencia local o de pruebas directas o indirectas. Para suelos granulares, se tomará en cuenta el incremento de la rigidez del suelo con la presión de confinamiento. Cuando el subsuelo esté constituido por estratos horizontales de características elásticas diferentes, será aceptable despreciar la influencia de las distintas rigideces de los estratos en la distribución de esfuerzos. El desplazamiento horizontal y el giro transitorios de la cimentación bajo las fuerzas cortantes y el momento de volteo generados por la segunda combinación de acciones se calcularán cuando proceda, como se indica en las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo. La magnitud de las deformaciones 69

70 permanentes que pueden presentarse bajo cargas accidentales cíclicas se podrá estimar con procedimientos de equilibrio límite para condiciones dinámicas. Los asentamientos diferidos se calcularán por medio de la relación: donde (3.10) H es el asentamiento de un estrato de espesor H; e o es la relación de vacíos inicial; e es la variación de 1a relación de vacíos bajo el incremento de esfuerzo efectivo vertical p inducido a la profundidad z por la carga superficial. Esta variación se estimará a partir de pruebas de consolidación unidimensionales realizadas con muestras inalteradas representativas del material existente a esa profundidad; y z son los espesores de estratos elementales dentro de los cuales los esfuerzos pueden considerarse uniformes. Los incrementos de presión vertical.p inducidos por la carga superficial se calcularán con la teoría de la elasticidad a partir de las presiones transmitidas por la subestructura al suelo. Estas presiones se estimarán considerando hipótesis extremas de repartición de cargas o a partir de un análisis de la interacción estática suelo-estructura. Para evaluar los movimientos diferenciales de la cimentación y los inducidos en construcciones vecinas, los asentamientos diferidos se calcularán en un número suficiente de puntos ubicados dentro y fuera del área cargada. 3.4 Cimentaciones compensadas Se entiende por cimentaciones compensadas aquellas en las que se busca reducir el incremento neto de carga aplicado al subsuelo mediante excavaciones del terreno y uso de un cajón desplantado a cierta profundidad. Según que el incremento neto de carga aplicado al suelo en la base del cajón resulte positivo, nulo o negativo, la cimentación se denomina parcialmente compensada, compensada o sobrecompensada, respectivamente. Para el cálculo del incremento de carga transmitido por este tipo de cimentación y la revisión de los estados límite de servicio, el peso de la estructura por considerar será: la suma de la carga muerta, incluyendo el peso de la subestructura, más la carga viva con intensidad media, menos el peso total del suelo excavado. Esta combinación será afectada por un factor de carga unitario. El cálculo anterior deberá realizarse con precisión tomando en cuenta que los asentamientos son muy sensibles a pequeños incrementos de la carga neta. Además, en esta evaluación, deberán tomarse en cuenta los cambios posibles de materiales de construcción, de solución arquitectónica o de usos de la construcción susceptibles de modificar significativamente en el futuro dicha carga neta. Cuando la 70

71 incertidumbre al respecto sea alta, la cimentación compensada deberá considerarse como poco confiable y deberá aplicarse un factor de carga mayor que la unidad, cuidando al mismo tiempo que no pueda presentarse una sobrecompensación excesiva, o adoptarse otro sistema de cimentación. La porción de las celdas del cajón de cimentación que esté por debajo del nivel freático y que no constituya un espacio funcionalmente útil, deberá considerarse como llena de agua y el peso de esta deberá sumarse al de la subestructura, a menos que dicho espacio se rellene con material ligero no saturable que garantice la permanencia del efecto de flotación Estados límite de falla La estabilidad de las cimentaciones compensadas se verificará como lo señala la sección Se comprobará además que no pueda ocurrir flotación de la cimentación durante ni después de la construcción. De ser necesario, se lastrará la construcción o se instalarán válvulas de alivio o dispositivos semejantes que garanticen que no se pueda producir la flotación. En la revisión por flotación, se considerará una posición conservadora del nivel freático. Se prestará especial atención a la revisión de la posibilidad de falla local o generalizada del suelo bajo la combinación de carga que incluya el sismo Estados límite de servicio Para este tipo de cimentación se calcularán: a) Los movimientos instantáneos debidos a la carga total transmitida al suelo por la cimentación, incluyendo los debidos a la recarga del suelo descargado por la excavación. b) Las deformaciones transitorias y permanentes del suelo de cimentación bajo la segunda combinación de acciones. Se tomará en cuenta las deformaciones permanentes tienden a ser críticas para cimentaciones con escaso margen de seguridad contra falla local o general y que los suelos arcillosos tienden a presentar deformaciones permanentes significativas cuando bajo la combinación carga estática-carga sísmica cíclica se alcanza un esfuerzo cortante que represente un porcentaje superior al 90 por ciento de su resistencia estática no drenada. c) Los movimientos diferidos debidos al incremento o decremento neto de carga en el contacto cimentación-suelo. Los movimientos instantáneos y los debidos a sismo se calcularán en la forma indicada en la sección El cálculo de los movimientos diferidos se llevará a cabo en la forma indicada en dicho inciso tomando en cuenta, además, la interacción con el hundimiento regional. Se tomará en cuenta que las cimentaciones sobrecompensadas en la zona lacustre tienden a presentar una emersión aparente mucho mayor y más prolongada en el tiempo que la atribuible a las deformaciones elásticas y a los cambios volumétricos inducidos por la descarga. Lo anterior es consecuencia de la interacción entre la descarga y el hundimiento regional cuya velocidad disminuye localmente al encontrarse el suelo 71

72 preconsolidado por efecto de la descarga. En la zona III y en presencia de consolidación regional la sobrecompensación no será superior a 10 kpa (1 t/m²) a menos que se demuestre que un valor mayor no dará lugar a una emersión inaceptable ni a daños a construcciones vecinas o servicios públicos. En el diseño y construcción de estas cimentaciones deberá tenerse presente que los resultados obtenidos dependerán en gran medida de la técnica empleada en la realización de la excavación. Tabla de pesos volumétricos de diferentes materiales MATERIALES Pesos volumétricos 1.- PIEDRAS NATURALES Máximo t/m³ Mínimo t/m³ Arcillas Areniscas (chilucas y canteras) secas saturadas.5 Basaltos (p. braza, laja, etc.) secos.6.35 saturados Granito 3..4 Mármol, piedras calcáreas.6.55 Riolita Pizarras Tepetates Tezontles Calizas SUELOS Máximo t/m³ Mínimo t/m³ Arena de grano de tamaño uniforme Arena bien graduada Arena medianamente compacta Arcilla típica del valle de México Caliche

73 3.- PIEDRAS ARTIFICIALES Y MORTEROS Máximo t/m³ Mínimo t/m³ Adobe Argamasa Fraguada Cemento Portland fraguado Concreto simple con agregados de peso normal. Concreto reforzado.4. Mortero de cal y arena Mortero de cemento y arena Aplanado de yeso Tabique macizo hecho a mano Tabique macizo prensado. 1.6 Bloque hueco de concreto ligero Bloque hueco de concreto intermedio Bloque hueco de concreto pesado. Bloque de Vidrio para muros Prismáticos para tragaluces 1.5 Vidrio plano MADERA Máximo t/m³ Mínimo t/m³ Álamo seco Caoba saturada Cedro blanco seco Cedro rojo seco saturado Oyamel Encino saturado Pino saturado Fresno seco Ocote seco Palma real seca Roble blanco seco Roble rojo o negro seco Roble (otras especies) seco

74 5.- METALES Máximo t/m³ Mínimo t/m³ Aluminio Acero, Hierro Cobre fundido laminado Latón, fundido laminado Plomo Zinc, fundido laminado RECUBRIMIENTOS Máximo t/m³ Mínimo t/m³ Azulejo Mosaico de pasta 35 5 Granito 40x Loseta asfáltica o vinílica PRODUCTOS ORGÁNICOS Máximo t/m³ Mínimo t/m³ Asfalto Carbón antracita Carbón bituminoso Carbón turba, seca Carbón vegetal de pino Petróleo crudo Petróleo refinado Petróleo bencina Petróleo gasolina

75 Diseño de carreteras Diseño de carreteras U EV d En donde: d R OP y OP R DE G G Por lo tanto: U EV R G R DE G También se tiene: F R R a A 1 En donde: G R1 DE Vd OP Como: OP R G (DE) Se tiene: R 1 DE Vd R DE G R 1 R G Vd (DE Vd ) Entonces: F A G R Vd (DE Vd ) R G a Finalmente: A EV F B y a FB Para vehículos con tractor, semirremolque y/o remolque. Desplazamiento de la huella del tractor (d t): d R t G R DET G 75

76 Desplazamiento de la huella del semirremolque: d s R d R d DES G t G Desplazamiento total de la huella del vehículo: t d d t d s También: F A G R Vd DET Vd RG y F 0 B F x W x F x F y W y F y W tan Fcos F x Wsen F cos (1) W F tan cos F y W cos Fsen () Volcamiento: EV Mo 0 Fy Fxh EV Fx h Fy (3) y EV h W tan F W tan Como: F ma; V a ; R W m y tan Sobreeleva ción g Substituyendo: g R EV hv S gr V EV h Si el radio y la sobre-elevación están fijos, la velocidad máxima de seguridad para que no ocurra volcamiento, será: V g R S grh EV h EV S 76

77 Este valor de la velocidad debe ser menor que el valor de la velocidad máxima de seguridad por deslizamiento. La condición necesaria y suficiente para que el vehículo no deslice al transitar por la curva es: F x 0 F 0 x En donde: W cos W y Siendo el coeficiente de fricción lateral, como el valor de F ya se definió, se tiene: W tan F cos W cos 0 Pero: WV F g R Por lo cual: WV W tan W 0 g R Si expresamos la velocidad en km/h y substituimos g por su valor 9.81 m/s², se tiene: S V R Si el radio, la sobreelevación y el coeficiente de fricción lateral están fijos, la velocidad máxima segura para que no ocurra deslizamiento será: V S R (Fig. 5.4) De esta relación puede encontrarse también el radio mínimo para que no ocurra deslizamiento de un vehículo, viajando por la curva a la velocidad V. De las expresiones anteriores pueden extraerse las siguientes condiciones generales: 1. Si: Wsen F cos, la resultante del peso y la fuerza centrífuga es perpendicular a la superficie de rodamiento y la fuerza centrífuga no es percibida por el conductor. La velocidad que produce este afecto se llama velocidad de equilibrio. 77

78 . Si: Wsen F cos, la resultante se desplaza según el sentido negativo de la pendiente transversal del camino. El vehículo tiende a deslizar hacia el interior de la curva, siendo contrarrestada esta tendencia por una fuerza lateral de sentido opuesto, consecuencia de la fricción de las llantas con la superficie de rodamiento. Simultáneamente, se origina un momento que tiende a volcar el vehículo hacia adentro. 3. Si: Wsen cos, la resultante se desplaza según el sentido positivo de la pendiente transversal del camino. Los efectos son opuestos a los descritos en el párrafo anterior. La fuerza de fricción actúa hacia adentro y el vehículo tiende a volcarse hacia el lado exterior de la curva. Gráficas para el efecto de las pendientes en los vehículos Efecto de las pendientes en los vehículos con relación peso/potencia de 90 kg/hp 78

79 Efecto de las pendientes en los vehículos con relación peso/potencia de 10 kg/hp Fuerza de que dispone el vehículo para acelerarse o desacelerarse. F D T F R R R R (5.1) A R F P En donde: F D = Fuerza disponible para acelerar o desacelerar el vehículo en kg cuando esta fuerza es positiva el vehículo acelera; si es negativa el vehículo desacelera. F T = Fuerza tractiva neta del vehículo en kg es generada por el motor menos las resistencias internas producidas por los mecanismos de transmisión y las pérdidas producidas por la altura sobre del nivel del mar y otros factores. R A = Resistencia producida por el aire al movimiento del vehículo en kg. R R = Resistencia al rodamiento producida por la deformación de la llanta y la superficie de rodamiento en kg. R F = Resistencia producida por la fricción entre llanta y superficie de rodamiento cuando se aplican los frenos. R P = Resistencia que ofrece la pendiente al movimiento del vehículo en 79

80 Fuerza tractiva kg cuando la pendiente es ascendente, ofrece resistencia al avance del vehículo, pero cuando es descendente. De la definición de potencia: P FV, donde: P = Potencia, en kg m seg F = Fuerza, en kg. V = Velocidad, en m/s. Si consideramos que la fuerza tractiva se ve afectada principalmente por resistencias internas y la potencia del motor varía con la altura sobre el nivel del mar, la fórmula queda: P F T K, en donde: V K = e 1, e e 1 = Eficiencia según la altura sobre el nivel del mar; empíricamente Se ha determinado que: e 1 = h, para h = 900 m. e 1 varia de 0.79 a 1.0 h = Altura sobre el nivel del mar en metros e = Eficiencia mecánica. Varía entre 0.88 y Finalmente si expresamos la potencia en caballos de fuerza y la velocidad en kilómetros por hora la expresión anterior queda: 70P F T K El valor de K varía entre 0.70 y 0.95 V Resistencia al aire P W HP R A K A AV, en donde: R A = Resistencia del aire, en kg. A = Área frontal del vehículo, en m² V = Velocidad del viento, en km/h para fines del cálculo se considera que la velocidad del viento, es igual a la velocidad del vehículo 80

81 K A = Factor que debe determinarse experimentalmente Usualmente varía entre y K = por ser la más desfavorable Resistencia al rodamiento R R K W, en donde: R R R = Resistencia al rodamiento, en kg. W = Peso total del vehículo, en kg. K R = Factor empírico. Para las condiciones inusuales de las llantas, este factor varía entre y 0.160, según el tipo de superficie de rodamiento, ver tabla siguiente. Tipo de Superficie de rodamiento KR Asfalto o concreto a Revestimiento 0.00 a 0.05 Tierra a Para camiones pesados y buena superficie de rodamiento, como asfalto o concreto: R R R A 0.007W 89 Resistencia por fricción en el frenado R F Wf, en donde: R F = Resistencia por fricción en el frenado, en kg. W = peso total del vehículo f = Coeficiente de fricción longitudinal entre llanta y pavimento, ver tabla siguiente: 81

82 Resistencia por pendiente WP RP, en donde: 100 Coeficiente de fricción longitudinal Velocidad en km/h (f) Pavimento Pavimento Seco Mojado Wt CG Wn P W 100 RESISTENCIA QUE OPONE LA PENDIENTE AL AVANCE DEL VEHICULO RP = Resistencia por pendiente, en kg. Wt Wsen Wt RP sen tan W = Peso total del vehículo, en kg. P = Pendiente de la tangente del alineamiento vertical, en %. Para encontrar el tiempo y distancia que necesita un vehículo para adquirir una velocidad dada: 8

83 F D ma, según la segunda Ley de Newton F D a m, en donde: Para W m g F D = Fuerza disponible para acelerar o desacelerar, en kg. a = Aceleración, en m/s² m = Masa del vehículo, en donde: W = Peso total del vehículo, en kg. g = Aceleración de la gravedad, 9.81 m/s. Entonces la aceleración será: 9.81F a D (m/s) W Substituyendo en ecuaciones de movimiento uniformemente acelerado y expresando la velocidad en km/h, queda: V V1 L y a V t V a 1 W L V V 54F D 1 W t V V 35.4F D 1 En donde: V 1 = Velocidad inicial, en km/h V = Velocidad final, en km/h L = Longitud que requiere el vehículo para pasar de la velocidad inicial (V 1) a la velocidad final (V ), en metros t = Tiempo requerido para pasar de la velocidad inicial (V 1) a la velocidad final (V ) 83

84 S1 h F R 100 EV o x W ESTABILIDAD DEL VEHÍCULO EN LAS CURVAS F W F x x x F W F y y y La condición necesaria y suficiente para que no se produzca el vuelco es que el momento del peso respecto al eje en el punto o sea menor que el momento de la fuerza centrífuga respecto al mismo eje. Si el vehículo tiene una entrevía EV y la altura de su centro de gravedad es h, se tendrá: F Wsen F cos W tan F cos x F W cos Fsen W F tan cos y Volcamiento: EV Mo 0 Fy Fxh EV Fxh Fy (3) y EV h W tan F W tan Como: 84

85 F ma ; V a ; R W m y tan Sobreelevación g Substituyendo: gr EV hv S gr V EV h Si el radio y la sobre-elevación están fijos, la velocidad máxima de seguridad para que no ocurra volcamiento, será: V g EV gr S R S EV h h Este valor de la velocidad debe ser menor que el valor de la velocidad máxima de seguridad por deslizamiento. La condición necesaria y suficiente para que el vehículo no deslice al transitar por la curva es: F 0 x F 0 x En donde: Wcos W y Siendo el coeficiente de fricción lateral, como el valor de F ya se definió, se tiene: W tan F cos W cos 0 Pero: WV F gr Por lo cual: WV W tan W 0 gr Si expresamos la velocidad en km/h y substituimos g por su valor 9.81 m/s², se tiene: S V R Si el radio, la sobreelevación y el coeficiente de fricción lateral están fijos, la velocidad máxima segura para que no ocurra deslizamiento será: V S R

86 De esta relación puede encontrarse también el radio mínimo para que no ocurra deslizamiento de un vehículo, viajando por la curva a la velocidad V. De las expresiones anteriores pueden extraerse las siguientes condiciones generales: 4. Si: Wsen F cos, la resultante del peso y la fuerza centrífuga es perpendicular a la superficie de rodamiento y la fuerza centrífuga no es percibida por el conductor. La velocidad que produce este afecto se llama velocidad de equilibrio. 5. Si: Wsen F cos, la resultante se desplaza según el sentido negativo de la pendiente transversal del camino. El vehículo tiende a deslizar hacia el interior de la curva, siendo contrarrestada esta tendencia por una fuerza lateral de sentido opuesto, consecuencia de la fricción de las llantas con la superficie de rodamiento. Simultáneamente, se origina un momento que tiende a volcar el vehículo hacia adentro. 6. Si: Wsen cos, la resultante se desplaza según el sentido positivo de la pendiente transversal del camino. Los efectos son opuestos a los descritos en el párrafo anterior. La fuerza de fricción actúa hacia adentro y el vehículo tiende a volcarse hacia el lado exterior de la curva. 86

87 Características del vehículo de proyecto. Vehículo del proyecto Características DE DE DE DE - 10 DE Longitud total del vehículo L Distancia entre ejes extremos del vehículo DE Distancia entre ejes extremos del tractor DET Distancia entre ejes del semiremolque DES Vuelo delantero Vd Vuelo trasero Vt Distancia entre ejes tándem tractor Tt 61 Distancia entre ejes tándem semiremolque Ts 1 1 Distancia entre ejes interiores tractor Dt Distancia entre ejes interiores tractor y semiremolque Ds Ancho total del vehículo A Entrevía del vehículo EV Altura total del vehículo Ht Altura de los ojos del conductor Hc Altura de los faros delanteros Hf Altura de los faros traseros Hc Ángulo de desviación del haz de luz de los faros Radio de giro mínimo R G Peso Total (kg) Vehículo vacío Wv Vehículo cargado Wc Wc/ Relación Peso/Potencia (kg/hp) P Vehículos representados por el proyecto A y P C B - C3 T - S1 T3 - S T - S OTROS A y P Porcentaje de vehículos del tipo C indicado cuya distancia entre ejes C extremos (de) es menor que la del T - S vehículo del proyecto T - S T3 - S Dimensiones en cm Porcentaje de vehículos del tipo A y P

88 indicado cuya relación peso/potencia C es menor que la del vehículo del C proyecto T - S T - S T3 - S La distancia de visibilidad de parada se obtiene con la expresión: Vt V Dp f En donde: Dp = Distancia de visibilidad de parada, en m V = Velocidad de marcha, en km/h t = Tiempo de reacción, en segundos f = Coeficiente de fricción longitudinal Distancia de visibilidad de rebase: La distancia de visibilidad de rebase se determina con la expresión: Dr 4.5V donde: Dr = Distancia de visibilidad de rebase, en m V = Velocidad de proyecto, en km/h La distancia de visibilidad de encuentro se calcula únicamente en caminos de terracería y un solo carril y está definida con la expresión: De Dp En donde: De = Distancia de visibilidad de encuentro, en m Dp = Distancia de visibilidad de parada, en m 88

89 Coeficiente de fricción longitudinal en el frenado Velocidad en km/h Coeficiente de fricción longitudinal (f) Pavimento seco Pavimento mojado Distancia de visibilidad en Curvas verticales en cresta: Para que las curvas verticales en cresta cumplan con la distancia de visibilidad necesaria, su longitud deberá calcularse a partir del parámetro K, que se obtiene con la expresión: K D H h En donde: D = Distancia de visibilidad, en m H = Altura del ojo del conductor (1.14 m) h = Altura del objeto (0.15 m) 89

90 Distancia de visibilidad en Curvas verticales en columpio: Para que las curvas verticales en columpio cumplan con la distancia de visibilidad necesaria, su longitud deberá calcularse a partir del parámetro K, que se obtiene con la expresión: D K TD H En donde: D = Distancia de visibilidad, en m T = Pendiente del haz luminoso de los faros (0.0175) H = Altura de los faros (0.61 m) Velocidad de proyecto, en km/h Parámetros K para rebase en m/% DISTANCIA MÍNIMA A OBSTÁCULOS LATERALES EN CURVAS HORIZONTALES DE LOS ENLACES PARA PROPORCIONAR LA DISTANCIA DE VELOCIDAD DE PARADA Distancia de visibilidad Orilla de la calzada P Línea de visual 1.80 R Obstáculo lateral R V = Velocidad de proyecto, en km./hr. D = Distancia de visibilidad de parada en m. Medida a 100 m de la orilla interna de la calzada 90

91 Curvas horizontales G R Lc 0 G ST = R tang E = R sec 1 M = R seno verso C = R sen G: Grado de curvatura. R: Radio. Lc: Longitud de la curva. : Deflexión. ST: Subtangente. E: Externa. M: Ordenada media. C: Cuerda. Curvas circulares: Grado máximo de curvatura: G máx S V máx En donde: G máx = Grado máximo de curvatura = Coeficiente de fricción lateral S máx = Sobre-elevación máxima de la curva, en m/m V = Velocidad de proyecto, en km/h PI Punto de intersección de la prolongación de las - tangentes PC Punto en donde comienza la curva circular - simple PT - Punto en donde termina la curva circular simple PST - Punto sobre tangente PSST - Punto sobre subtangente PSC - Punto sobre la curva circular Rc O - Punto de la curva circular Gc - Ángulo de deflexión de la tangente c ST R c tan - Ángulo central de la curva circular c 91

92 θ - Ángulo de deflexión a un PSC c E R c Sec 1 - Ángulo de una cuerda cualquiera c - Ángulo de la cuerda larga M R c 1cos G c - Grado de curvatura de la curva circular R c - Radio de la curva circular C Rc sen ST - Subtangente E - Externa c CL Rc sen M - Ordenada media C - Cuerda 0 CL - Cuerda larga l - Longitud de un arco 0 L c c - Longitud de la curva circular G L c G c c Simbología de la curva circular con espirales PI - Punto de intersección de las tangentes TE Punto donde termina la tangente y - empieza la espiral EC Punto donde termina la espiral y - empieza la curva circular CE Punto donde termina la curva circular y - empieza la espiral ET Punto donde termina la espiral y - empieza la tangente PSC - Punto cualquiera sobre la curva circular PSE - Punto cualquiera sobre la espiral PST - Punto cualquiera sobre las tangentes Punto cualquiera sobre las PST e - subtangentes - Ángulo de deflexión de las tangentes c - Ángulo central de la curva circular c e θ e - Deflexión de la espiral en el EC ó CE G L 40 θ - Deflexión de la espiral en un PSE e e ø' c - Ángulo de la cuerda larga ' c e 3 ø 1 Ángulo entre la tangente a un PSE y - L L una cuerda atrás 1 ø Ángulo entre la tangente a un PSE y - L L una cuerda adelante L c L e e L L L 1 1 e 3 e L L L e 3 e 9

93 ø - Ángulo entre dos cuerdas de la espiral L L L L L 1 1 e 3 e c L e e X c X - Coordenadas del EC ó del CE 3 Y c Yc L e e e k p - Coordenadas del PC ó del PT (Desplazamiento) k X p Y c c R R c c sen e sen ver ST e - Subtangente St k R ptan TL - Tangente larga TL X c Y c cot e TC - Tangente corta TC Y c csc e CL e - Cuerda larga de la espiral e CL e X c c Y R p sec / E c - Externa c c c R c - Radio de la curva circular Rc Gc L - Longitud de la espiral a un PSE L e 8VS mínima L e - Longitud del espiral al EC ó CE L c - Longitud de la curva circular Lc 0 c Gc Longitud total de la curva circular con LT - LT L espirales e 0 G E c 1 c e R L 93

94 94

95 Curvas verticales. L = AD C 1 A1 P = P1 L A1 P' = P1 L A t = 00L l E = AL 800 L: Longitud de la curva. A: Diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y la de salida. D: Distancia de visibilidad de parada o de rebase. C 1: Constante. P: Pendiente en un punto cualquiera de la curva. P : Pendiente de la cuerda a un punto cualquiera. t: Desviación respecto a la tangente. l: Longitud de la curva a un punto cualquiera. E: Externa. Criterio de comodidad. Se aplica al proyecto de curvas verticales en columpio, se recomienda que en la curva la aceleración centrífuga no exceda a m/seg. K L A V 395 V en km / h A en % K El recíproco de la var iación dependiente por unidad de longitud P1 Pendiente entrada L Longitud curva P Pendiente salida K Variación de longitud por A Diferencia pendientes unidad de pendiente K L A Criterio de apariencia. Se aplica al proyecto de curvas verticales en columpio. Empíricamente la AASHTO ha determinado que K A L 30 Criterio de drenaje. Curvas verticales en columpio o en cresta, cuando están alojadas en corte, la pendiente en cualquier punto de la curva debe ser tal que el agua pueda escurrir fácilmente. Según AAHSTO L K 43 A 95

96 Criterio de seguridad. Curvas en cresta y en columpio la longitud de la curva debe ser tal, que en toda la curva la distancia de visibilidad de parada se cumpla. La AASHTO establece un valor mínimo para la longitud de curva, dado por la expresión empírica. L 0. 6V V en km / h Expresiones para calcular la longitud de las curvas verticales, tanto para distancia de visibilidad de parada como de rebase. Curvas en cresta D L C1 L D A D L L AD C 1 Curvas en columpio D L D L C L D 3.5D A AD L C 3.5D L - Longitud de curva vertical, en m Distancia de visibilidad de parada o rebase, en D - m A - Diferencia algebraica de pendientes, en % C 1, C - Constantes que dependen de la altura del ojo del conductor o altura de los faros y de la altura del obstáculo o altura del vehículo Constante Distancia de visibilidad De parada De rebase C C 10 96

97 Curvas verticales. Las curvas verticales serán parábolas de eje vertical y están definidas por su longitud y por la diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes verticales que unen. Longitud Mínima: La longitud minina de las curvas verticales se calcula con la expresión: L KA En donde: L = Longitud mínima de la curva vertical, en m. K = Parámetro de la curva A = Diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes verticales en por ciento. Pendiente en un punto cualquiera de la curva P = Pl - AL L Pendiente de la cuerda a un punto cualquiera P1 = Pl - Al L Desviación respecto a la tangente (T) A T = 00 L l Externa Flecha E = AL 800 f = AL 800 Elevación a un punto cualquiera de la curva Zn f = E Zn = Zo + ( Pl - A n) n no es comprobable 5 10 N Zn = (Zn - l) + Pl 5 - A 10 N (n-l) autocomprobable Siendo n y N las longitudes l y L respectivamente pero en estaciones de 0 m. 97

98 Ejemplo: Determinar la longitud crítica de una pendiente del 5 %, si la pendiente gobernadora es del 4 % Longitud crítica = 450 m Pendiente gob. - % Pendiente de la tangente vertical (%) Longitud (m) LONGITUD CRÍTICA DE TANGENTES VERTICALES CON PENDIENTE MAYOR QUE LA GOBERNADORA 5 Diferencia algebraica de pendientes (%) Velocidad de proyecto V = 30 km/hr, K = 3 V = 40 km/hr - 30 km/hr, K = 4 V = 50 km/hr, K = 8 V = 40 km/hr (E), K = 7 V = 50 km/hr (E), K = 1 V = 60 km/hr, K = 14 V = 70 km/hr, K = 0 V = 60 km/hr (E), K = 3 V = 80 km/hr, K = 31 V = 70 km/hr (E), K = 36 V = 90 km/hr, K = 43 (Máxima por drenaje) V = 100 km/hr, K = 57 V = 110 km/hr, K = 7 (E) = Carretera tipo E Longitud de la curva vertical (m) LONGITUD MÍNIMA DE LAS CURVAS VERTICALES EN CRESTA 98

99 5 Diferencia algebraica de pendientes (%) Velocidad de proyecto V = 30 km/hr, K = 4 V = 40 km/hr, K = 7 V = 50 km/hr, K = 10 V = 60 km/hr, K = 15 V = 70 km/hr, K = 0 V = 80 km/hr, K = 5 V = 90 km/hr, K = 31 V = 100 km/hr, K = 37 V = 110 km/hr, K = Longitud de la curva vertical (m) LONGITUD MÍNIMA DE LAS CURVAS VERTICALES EN COLUMPIO L A Ac Le En donde: Valores del parámetro K (m/%) Curvas en Curvas en cresta columpio Carretera tipo Carretera tipo E D, C, B, A E, D, C, B, A Velocidad de proyecto (km/h) Longitud mínima Aceptable (m) A = Ampliación del ancho de la calzada en un punto de la curva espiral o de la transición mixta, en m L = Distancia del origen de la transición al punto cuya ampliación se desea determinar, en m L e = Longitud de la curva espiral o de la transición mixta, en m A c = Ampliación total del ancho de la calzada correspondiente a la curva circular, en m 99

100 En curvas espirales de transición y en transiciones mixtas La sobreelevación de la corona en un punto cualquiera de las curvas espirales de transición o de las transiciones mixtas, estará dada por la expresión: S L L e S c En donde: S = Sobreelevación de la corona en un punto cualquiera de la curva espiral o de la transición mixta, en m L = Distancia de origen de la transición al punto considerado en el que se desea determinar la sobreelevación de la corona, en m L e = Longitud de la curva espiral de transición o de la transición mixta, en m S c = Sobreelevación de la corona correspondiente al grado de curvatura, en % Ampliación X ' R Donde: R L R = Radio de la curva L = Se considera generalmente de 6 m Para un cierto No. de carriles, el sobre ancho será: 0.10V X ' R R L N V = km/h R También se puede usar la fórmula X ' R 6.6 R L N R Ancho de calzada en curva ac ( carriles) ac u C FA Z u EV R R DE 100

101 FA R Vd V Z 0. 1 R DE Vd R Donde: Ac = Ancho de calzada en curva a = Ancho de calzada en tangente A = Ampliación en curva Vd = Vuelo delantero DE = Distancia entre ejes EV = Entre vía (generalmente ancho total del vehículo) C = Distancia libre entre vehículos u = Distancia entre huellas externas FA = Proyección vuelo delantero Z = Sobre ancho por dificultad de maniobras Sobreelevación para un grado cualquiera Smáx S G Gmáx Ancho calzada (m) (a) Valor de (c) en m Ampliación en curvas circulares con transición (espirales) A' A L e L En donde: L e = Longitud de la espiral A = Ampliación total en curva Ancho de la subcorona (As) As C e1 e A 101

102 En donde: C = Ancho de la corona en metros e 1 y e = Ensanche de cada lado del camino en metros A = Ampliación de calzada en la sección considerada (m) Ensanche: Sobre ancho que se da a la subcorona a cada lado para que dé el ancho de la corona con la proyección del talud en función de la base, subbase, pendiente transversal y taludes. B e 1 s t En donde: B = Espesor de base y subbase en metros t = Talud de la cuneta (3 : 1, generalmente) s = Sobreelevación o pendiente transversal de la corona y la subcorona con su signo Cuando da > 1 m se debe calcular por la fórmula: e 1 1 B T t 1 s T En donde: T = Talud del corte t = Talud de la cuneta Ampliación y sobreelevación en transición Datos necesarios Smáx Gmáx C = Ancho de corona en subtangente B = Bombeo en tangente V = Velocidad de proyecto Datos específicos de la curva G = Grado y sentido de deflexión S = Sobreelevación de la curva 10

103 Parámetros L e = Longitud de transición N = Distancia A = Ampliación TE = Termina tangente empieza espiral EC = Termina espiral empieza curva CE = Termina curva empieza espiral ET = Termina espiral empieza tangente DS = Parámetro que define la variación de la sobreelevación DA = Parámetro que define la variación de la ampliación DS S L e DA A L e F.A. = banco = vol. suelto suelto vol. banco F.R. = banco = vol. terraplén terraplén vol. banco Distancia económica de sobre acarreo El empleo del material producto de corte en la formación de terraplenes, está condicionado tanto a la calidad del material como a la distancia hasta que es económicamente el transporte. DME = (Pp + Pd) - Pc + AL. Psa DME = Distancia máxima de sobre acarreo económico Pp = Costo unitario de terraplén formado con material de préstamo Pd = Costo unitario de sobre acarreo del material de corte de desperdicio. Pc = Precio unitario de la compactación, en el terraplén del material producto del corte. AL = Acarreo libre, costo Incluido en la excavación Psa = Precio unitario del sobre acarreo del material de corte Determinación de pesos específicos. m W V m m 1000 En donde: 103

104 m Es el peso específico o volumétrico del material húmedo en el lugar, en kg/m 3 W m Es el peso del material extraído del sondeo, en gr. V m Es el volumen del sondeo de prueba medido con la arena, en cm 3. d m w W w W w s En donde: 100 d Es el peso específico o volumétrico del material en estado seco en el lugar en kg/m 3. Es el peso específico o volumétrico del material húmedo en el lugar, en kg/m 3 m w Es el contenido de agua del material, en % W w Es el peso del agua que contiene el suelo, en g. W s Es el peso de la muestra seca, en g. G c d dmáx 100 En donde: G c Es el grado de compactación del material, en % Es el peso específico o volumétrico del material en estado seco en el lugar, en kg/m 3. d Es el peso específico o volumétrico seco máximo del material en kg/m 3. máx 104

105 Representación esquemática de los límites de Atterberg. Representación esquemática para la determinación de contracción lineal. L3 CL 100 L 1 En donde: w ll es la humedad del suelo correspondiente al límite líquido, en porcentaje. w lc es la humedad del suelo correspondiente al límite de contracción, en porcentaje. L1 es la longitud inicial del espécimen de suelo húmedo, en cm. L es la longitud del espécimen de suelo seco, en cm. L3 es la diferencia de longitud entre el suelo húmedo y el suelo seco, en cm. Cálculo de la curva masa. Distancia económica de sobre acarreo El empleo del material producto de corte en la formación de terraplenes, está condicionado tanto a la calidad del material como a la distancia hasta que es económicamente el transporte. DME = (Pp + Pd) - Pc + AL. Psa DME = Distancia máxima de sobre acarreo económico Pp = Costo unitario de terraplén formado con material de préstamo Pd = Costo unitario de sobre acarreo del material de corte de desperdicio Pc = Precio unitario de la compactación, en el terraplén del material producto del corte AL = Acarreo libre, costo Incluido en la excavación Psa = Precio unitario del sobre acarreo del material de corte 105

106 Determinación de la compensadora económica. Compensadora entre préstamos Pp. atrás Pp. adelante M. atrás M adelante CV.. CV.. CV.. CV.. Compensadora entre desperdicios Pp. atrás Pp. adelante M. atrás M adelante CV.. CV.. CV.. CV.. Compensadora entre préstamo desperdicio Pp. atrás Pp. adelante M. atrás M adelante CV.. CV.. CV.. CV.. Compensadora entre desperdicio préstamo Pp. atrás Pp. adelante M. atrás M adelante CV.. CV.. CV.. CV.. Distribución del centro a centro de gravedad De 0 a 10 De 10 a 50 Mayor de 50 Unidad m³ est. m³ hm m³ km 106

107 Diseño de pavimentos. Gráfica de diseño para estructuras de pavimento flexible, método AASHTO Método de diseño de pavimentos flexibles AASHTO Datos requeridos Tránsito en ejes equivalentes acumulados (W 18) - Coeficiente de drenaje (m) - Confiabilidad R - Desviación estándar global, So - Módulo de resiliencia, Mr de los materiales - Pérdida de servicio, PS1 Cálculos Número estructural, S N - S N = a 1 D 1 + a D m + a 3D 3m 3 - a 1, a, a 3 = Coeficientes de capa representativos de carpeta, base y subbase respectivamente. - m y m 3 = Coeficientes de drenaje para base y subbase 107

108 Análisis capa por capa D 1* SN 1 a 1 SN* 1 = a 1D 1 SN D* SN - SN* 1 am SN* 1 + SN* SN D* 3 SN 3 - (SN 1 + SN* ) am3 a, D, m y S N son valores mínimos requeridos D* y S N* valores finales de diseño L = (coeficiente de daño) x factor de crecimiento x TDPA (carril de diseño) Módulo de resiliencia (Mr) obtenido en pruebas de laboratorio Mr (Mpa) = 10.3 CBR; MR (kg/cm) = 105 CBR Mr (Mpa) = 10.3 CBR; MR (kg/cm) = 105 CBR El método AASHTO para diseño de pavimentos flexibles publicada en 1993 incluye importantes modificaciones dirigidas a mejorar la confiabilidad del método W18 = Número esperado de repeticiones de ejes equivalentes a 8. t en el periodo de diseño. Zr = Desviación Estándar del error combinado en la predicción del tráfico y comportamiento estructural. So = Desviación Estándar Total ΔPSI = Diferencia entre la Serviciabilidad Inicial (Po) y Final (Pt). Mr = Módulo Resiliente de la Sub-rasante (psi) SN = Número Estructural, indicador de la Capacidad Estructural requerida (materiales y espesores). ai = Coeficiente Estructural de la capa i Di = Espesor de la Capa i mi = Coeficiente de Drenaje de la Capa Granular i Parámetro W18 Para la guía AASHTO corresponde al EAL afectado por coeficientes que representan el sentido y el número de carriles que tendrá la vía W18 = DD x DL x EAL EAL = Número de ejes equivalentes a 8. t en el periodo de diseño. DD = Es un factor de distribución direccional. Por lo general se considera 0.5 DL = Esta dictado por el siguiente cuadro 108

109 Factor carril Número de carriles en cada dirección Porcentaje para ejes de 8. t en cada dirección Número de ejes equivalentes a 8. t EAL(8. t)=365(imde*fde + IMD3E*FD3E + IMDTYS*FDTYS) [(1+i)n -1] i Donde: EAL(8. t) : Número de Ejes Equivalentes a 8. t en el periodo de diseño. IMDE: Índice Medio Diario de Camiones de ejes IMD3E: Índice Medio Diario de Camiones de 3 ejes IMDTyST: Índice Medio Diario de Camiones de TyST FDE: Factor Destructivo de Camiones de E FD3E: Factor Destructivo de Camiones de 3E FDTyST: Factor Destructivo de Camiones de TyST i : Tasa de crecimiento de los vehículos n : Periodo de Diseño Confiabilidad Clasificación general Nivel de confiabilidad recomendados Urbano Rural Autopista y carreteras interestatales Otras arterias principales Colectoras Locales

110 Confiabilidad R (%) Desviación Estándar Normal (Zr) Desviación Estándar Total (So) Pavimentos Rígidos Pavimentos Flexibles Índice de Serviciabilidad Presente PSI inicial = Inicio del Periodo PSI Final = Fin del Periodo Δ PSI = PSI Final - PSI inicial Módulo Resiliente de la Subrasante La guía AASHTO reconoce que muchas agencias no poseen los equipos para determinar el Mr y propone el uso de la conocida correlación con el CBR Mr(psi) = 1500xCBR Mr = 1 500xCBR para CBR < 10% sugerida por AASHTO Mr = 3 000xCBR 0.65 para CBR de 7.% a 0% esta ecuación fue desarrollada en Sudáfrica Mr = 4 36xlnCBR + 41 utilizada para suelos granulares por la propia guía AASHTO 110

111 Módulo de resilencia, Mr, obtenido en pruebas de laboratorio. Correlación para subrasante Mr (Mpa) = 10.3 CBR Mr (Psi) = CBR, Mr (kg/cm ) = 105 CBR Se recomienda que el Mr. de diseño se obtenga en función del tránsito esperado Nivel de tránsito ejes equivalentes Percentil < a > Compactación Base y subbase a 100% PVSM AASHTO T-180 Subrasante % AASHTO T-180 Cálculo de Número Estructural log 10[Δ PSI ] Log 10 W18 = Zr x So x log (SN+1) _ x log MR (SN+1)

112 Carta de diseño AASHTO 1993 Estructuración del pavimento SN = a1 x D1 + a x D x m + a3 x D3 x m3 Notas: 1) a, D, m y SN corresponden a valores mínimos requeridos ) D * y SN * representan los valores finales de diseño 11

113 Requisitos de calidad de materiales granulares SUBBASE BASE CBR mín. % 0 80 Valor R. mín LL, máx, % 5 5 IP, máx, % 6 NP EA, mín, % 5 35 %, Finos máx 1 7 Tipo de asfalto para varias condiciones de temperatura ambiente Clima Temp Grado del asfalto Frio <= 7 C AC-5, AC-10 Templado 7 y 4 C AC-10, AC-0 Caliente >= 4 C AC-0, AC-40 Se pueden usar emulsiones asfálticas catiónicas o aniónicas Características Del cemento asfáltico original: Viscosidad dinámica a 60 C; Pas (P (1) ) Clasificación AC-5 AC-10 AC-0 AC-30 50±10 (500±100) 100±0 (1 000±00) 00±40 ( 000±400) 300±60 (3 000±600) Viscosidad cinemática a 135 C; mm /s, mínimo (1 mm /s = 1 centistoke) Viscosidad Saybolt-Furol a 135 C; s, mínimo Penetración a 5 C, 100 g, 5s; 10-1 mm, mínimo Punto de inflamación Cleveland; C, mínimo Solubilidad; %, mínimo Punto de reblandecimiento; C Del residuo de la prueba de la película delgada: Pérdida por calentamiento; %, máximo Viscosidad dinámica a 60 C; Pas (P (1) ), máximo 00 ( 000) 400 (4 000) 800 (8 000) 1 00 (1 000) Ductilidad a 5 C y 5 cm/min; cm, mínimo Penetración retenida a 5 C; %, mínimo

114 Coeficiente de drenaje Características del drenaje Agua eliminada en Porcentaje de tiempo en el año, que la estructura del pavimento está expuesta a un nivel de humedad próxima a la saturación < 1 1% - 5% 5% - 5% > 5 Excelente horas Bueno 1 día Regular 1 semana Pobre 1 mes Muy malo No drena El coeficiente estructural para material de base es estimado a través de la siguiente formula a = 0. x log EBS EBS = K1 θ K Donde: θ = sumatoria de estados de esfuerzos (psi) K1 y K = constantes estadísticas de regresión que están en función del tipo de material Los valores típicos para materiales de base son: K1 = 3000 a 8000 K = 0.5 a 0.7 Espesores mínimos (pulgadas) Rango de tráfico Concreto asfáltico Espesor de base Menos de (Tratamiento 4 superficial) Mayor a

115 Ingeniería de costos Ley y Reglamento de Obras Públicas y Servicios Relacionados con la Misma Reglamento y Normas de Construcción del Distrito Federal Peso de varillas Construcción Núm. DIÁMETRO Kg/m 1/4" /8" /" /8" /4" " 3, /8" /" Salarios mínimos Pesos diarios, áreas geográficas A B C 001 $40.35 $37.95 $ $4.15 $40.10 $ $43.65 $41.85 $ $45.4 $43.73 $ $46.80 $45.35 $ $48.67 $47.16 $ $50.57 $49.00 $ $5.59 $50.96 $ $54.80 $53.6 $ $57.46 $55.84 $ $59.8 $58.13 $56.70 S.M.D.F. Salario real = sal. nom X fsr Factor de salario base de cotización FSBC = Tp/ DICAL 115

116 PORCENTAJES DE APLICACIÓN A LA BASE DEL CALCULO PARA LA DETERMINACION DE LAS CUOTAS DEL IMSS, VIGENTES A PARTIR DEL 1o. DE JULIO DE 1997 A JUNIO DE 010 ENFERMEDAD Y MATERNIDAD FECHA DE INICIO CUOTA FIJA EXCEDENTE A 3 SALARIOS MINIMOS GENERALES DEL D.F. PRESTACIONES EN DINERO GASTOS MEDICOS PENSIONADOS PATRON PATRON ASEGURADO SUMA PATRON ASEGURADO SUMA PATRON ASEGURADO SUMA 01/07/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ ART. 106-I 106-II

117 FECHA DE INICIO INVALIDEZ Y VIDA GUADERIAS RETIRO SAR CESANTIA EN EDAD AVANZADA Y VEJEZ PATRON ASEGURADO SUMA PATRON PATRON ASEGURADO SUMA 01/07/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ Artículo I 168-II 117

118 ENFERMEDAD Y MATERNIDAD FECHA DE INICIO CUOTA FIJA EXCEDENTE A 3 SALARIOS MINIMOS GENERALES DEL D.F. PRESTACIONES EN DINERO GASTOS MEDICOS PENSIONADOS PATRON PATRON ASEGURADO SUMA PATRON ASEGURADO SUMA PATRON ASEGURADO SUMA 01/07/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /06/ /01/ /01/ /01/ Artículo 106-I 106-II

119 FECHA DE INICIO INVALIDEZ Y VIDA GUADERIAS RETIRO SAR CESANTIA EN EDAD AVANZADA Y VEJEZ PATRON ASEGURADO SUMA PATRON PATRON ASEGURADO SUMA 01/07/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ Artículo I 168-II Artículo 8 Límite Inferior 1 salario mínimo general del Área geográfica respectiva LEY DEL I.M.S.S. Límite Superior 5 salarios mínimo del D.F. 119

120 RLOP= Reglamento de la Ley de Obras Públicas y Servicios Relacionados con las Marco jurídico Mismas. LFT= Ley Federal Del Trabajo, LSS=Ley del Seguro Social, RLSS= Reglamento del Seguro Social SMGDF= Salario Mínimo General del Distrito Federal Días Festivos art. 74 LFT (reforma del 17 enero 006) Vacaciones art 76 LFT 6 días por año 1 Enero 16 Septiembre Aguinaldo art 87 LFT 15 días por año 1er Lunes Febr./ 5 Febrero 3er Lunes Nov./ 0 Noviembre Prima Vacacional art 80 LFT 5% de las Vacaciones 3er Lunes Marzo/ Marzo 1 dic. c/6 años Prima Dominical % Cuota Fija : Art 106 fracción I, (LSS) y Art. 13 fracción I, RLSS * Excedente a 3 SMGDF, Art 106 Fracción II, (LSS) y Art. 13 Fracción II, (RLSS) ** Prestaciones en Dinero Art. 107 Fracción I y II (LSS) Art. 13 Fracción III, (RLSS) *** Prestaciones en Especie de los pensionados Art. 5 Párrafo II, (LSS) Art. 13 Frac. IV, (RLSS) *** Invalidez y vida, (Art 147 LSS) y Art 14 RLSS, y Art. Vigésimo Quinto Transitorio de La LSS *** Cesantía en edad avanzada y vejez Art. 168 Fracción II (LSS) y Art. 16 (RLSS) *** 1 Mayo 5 diciembre Días Inactivas por arrastre: Días equivalentes al tiempo perdido en el transporte al sitio de trabajo. COSTA AFUERA Utilizado en trabajos Costa afuera o similar. Riesgos de trabajo Art. 73 y 74 (LSS) *** En este caso se anulan las partidas 1.1 al 1.8 Guarderías Art. 11 y 1 (LSS) y Art. 15 (RLSS) *** Salario Base de Cotización, Art 7(LSS) y Art. 10 (RLSS) Base de Cotización Mensual, Art. 11 (RLSS) * Sobre el SMGDF invitación restringida Fuente: criterios para la presentación y evaluación de proposiciones en licitaciones públicas y por ** Sobre Salario Base de Cotización - 3SMGDF Comisión mixta PEP-CNIC, pag198 y 199 *** Sobre el Salario Base de Cotización Fsr= Factor de salario real, Art. 160 RLOP Fsr= Ps(Tp/Tl)+ (Tp/Tl) Ps= Obligaciones obrero-patronales en fracción decimal, Art. 160 RLOP Tp= Días realmente pagados durante un periodo anual. Art. 160 RLOP Tl= Días realmente laborados durante un periodo anual. Art. 160 RLOP 10

121 Costo horario CARGOS FIJOS a).- DEPRECIACIÓN...D = (Vm-Vr)/Ve = b).- INVERSIÓN...Im = (Vm+Vr)* i/hea = c).- SEGUROS...Sm = (Vm+Vr) * S/Hea = d).- MANTENIMIENTO...M = Ko * D = CONSUMOS a).- COMBUSTIBLE...GASOLINA Co = Fc * Po * Pc = b).- OTRAS FUENTES DE ENERGÍA...:En = Pe * Pe c).- LUBRICANTE...Lb = [(Fa * Po) + CC/Ca] * Pa = d).- LLANTAS...N = Pn/Vn = e).- PIEZAS ESPECIALES...Ae = Pe / Va OPERACIÓN Cargo por operación = Po = Sal. real / hora efectiva = Planeación, organización y administración Balanza de comprobación Estado de resultados A = P + C Ingresos-egresos = utilidad o pérdida Ruta crítica Fórmula TMP= IMP+DUR Fórmula IMT= TMT-DUR Formula holguras H= IMP - TMP ; H= IMT-TMT Interés simple = M = P ( 1 + ni ) Interés compuesto = M = P ( 1 + i ) n Valor futuro = VF = VP ( 1+ i) n Valor presente = VP = VF / ( 1+ i) n 11

122 Potencia tractor F = 75 (P)(K) V F = fuerza efectiva de trabajo (kg) P = potencia en el motor (cv) V = velocidad de operación (m/s) K = constante o factor de eficiencia Resistencia a la pendiente (Fuerza tractiva) Ft = 1000 P sen Ft = Fuerza tractiva P = Peso del tractor sen = ángulo de la rampa en porcentaje o grados Cálculo del rendimiento de tractores con cuchilla V = (C)(E)(60) (T)(FA) V = rendimiento en m 3 /h de suelo compacto C = capacidad de la cuchilla FA = coeficiente de abundamiento E = coeficiente de eficacia del dozer T = duración del ciclo en minutos 60 = número de minutos en una hora Productividad horaria o rendimiento de palas mecánicas V = 3600(C)(E)(K) (T)(FA) V = productividad horaria o rendimiento en m 3 /h de suelo compacto C = capacidad del cucharón en yardas o metros cúbicos sueltos FA = factor de abundamiento del material excavado E = relación del volumen realmente cargado al volumen nominal del cucharón K = factor de rendimiento en función del tipo de material a excavar T = tiempo total del ciclo en segundos = segundos en una hora Rendimiento de motoconformadoras PÉRDIDAS DE TIEMPO. H = (NR)(L) - (Nr)(L) V V 1

123 H = Horas pérdidas NR = N o. Pasadas realizadas Nr = N o. Pasadas requeridas V = Velocidad aplicación L = Longitud del tramo Rendimiento en horas T = (N)(L) + (N)(L) + (N)(L) (V1)(E) (V)(E)(V3)(E) T = Tiempo en horas utilizado N = Número de pasadas L = Longitud recorrida en km, en cada pasada E = factor de eficiencia V1, V, V3 = Velocidad en km/h., en cada pasada Costo horario de maquinaria (cargos) D = Va - Vr Ve D = Cargo por depreciación Va = Valor de adquisición Vr = Valor de recuperación Ve = Vida económica I = Va - Vr i Ha I = Cargo por inversión Va = Valor de adquisición Vr = Valor de rescate I = Tasa de interés anual, expresada en fracción Ha = Horas efectivas trabajadas por el equipo durante el año S = Va - Vr s Ha S = Cargo por Seguro Va = Valor de adquisición Vr = Valor de rescate s = Prima anual, expresada en fracción Ha = Horas efectivas trabajadas por el equipo durante el año A = Ka. D A = Cargo por almacenamiento Ka = Coeficiente estimado de los costos que resulten y que se relacionen con el cargo de depreciación 13

124 D = Depreciación T = Q D T = Cargo por manteniendo y reparación Q = Coeficiente variable depende de la maquinaria y su trabajo, se deduce de datos estadísticos, incluye mantenimiento mayor y menor E = C Pc E = Cargo por combustible C = Cantidad de combustible consumido por hora efectiva de trabajo en L/h Pc = Precio del combustible por litro L = a P L = Cargo por lubricantes a = Cantidad de litros de aceite por hora efectiva de trabajo P = Precio de los aceites Ll = Vll Hv Ll = Cargo horario por llantas, en hora efectiva de trabajo Vll = Valor de adquisición de llantas Hv = Vida económica de las llantas en horas, en kilómetros Op = So H Op = Cargo horario por operación So = Salario por turno de personal que opera a la máquina con todas las prestaciones del salario base H = Horas efectivas, dentro del turno de operación de la máquina 14

125 Álgebra Si x y Si x y; Si x y; Si x y; z 0 z 0 y z x z xz xz x y z yz yz z r cis r cis r r cis n 1 1 r cis n 1 1 x, y, z Nota: cis cos i sen k r cis n i Ln r e Ln r k ; k entero i ; k entero Matemáticas f(x); g(x) 0, existen q(x); r(x); f, g, q, r polinomios tales que: f(x)=g(x) q(x)+r(x), con gr(r) < gr(g) o r(x)=0 f(x)=a nx n +a n-1x n a 1x+a 0; a n 0; a 0 0 las raíces racionales de f son de la forma q p donde p es factor de a 0 y q de a n Para matrices A y B AB B A ; A y B no singulares tr(a B) tr A + tr B traa = a tr A T T T AB = B A T det (A) = det (A ) det (AB) = det(a) det(b) AAdjA (AdjA)A = det(a) I -1 1 det (A ) ; A no singular det (A) Si B= v1, v,, vn es base de un espacio V; x V y x v v vn ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es: 1 1 n 15

126 1,,, n Si x B u, v, w T V C espacio vectorial, entonces fu, v u v V si: 1) u v v u ) u v w u v u w 3) u v u v 4) u u 0 si u 0 v v v 1 norma de v d u, v v u distancia de u a v cos u v u v Si B = g 1, g,, gn coseno del ángulo entre u y v es producto interno en es base ortogonal de un espacio V; v V y v g T v 1,,, n entonces i ; i = 1,,, n B g i g Si e 1, e,, em es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V; m entonces, la proyección de v sobre W es: v e i T V T v v V recorrido de V Para la transformación lineal T:VW NT v V / Tv O núcleo de T dim V = dim TV + dim NT Para T:VW; A= v 1, v,, v la matriz asociada a T, M n A B T n T v, v,, T v 1 B para T:VV, v B T B i=1 i i e i base de V y B base de W tiene por columnas a: V es vector característico de T si: Tv v con 0 y v 0 16

127 Geometría Áreas Círculo r Trapecio Triángulo B b h ab sen bh Volúmenes Cilindro Cono Esfera r h r h r Prismas S B h S B = área de la base Pirámides S h B 3 Trigonometría sen cos 1 sen 1 tan cos cot 1 csc sen 1 1 sen cos 1 1 cos cos sec 1 tan csc 1 cot 1 sec cos sen( ) sen cos cos sen 17

128 sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen cos( ) cos cos sen sen sen sen cos cos cos sen 1 sen cos 1 sen sen sen cos sen sen cos sen cos cos cos cos cos cos sen sen a sen a b c b a a b sen c c b c sen bc cos ac cos ab cos b c a sen cos tan cot sec csc

129 Geometría analítica plana Distancia entre dos puntos x x y y 1 1 Pendiente de una recta m = y y x x 1 1 Ecuación de una recta y - y 1 = m (x - x 1) ; Ax +By + C = 0 Ángulo entre rectas tan = m m 1 1 m m 1 Circunferencia ( x - h ) + ( y - k ) = r ; Ax + Ay +Dx + Ey + F = 0 Parábola Elipse Hipérbola Eje vertical ( x - h ) = 4p ( y - k ) ; Ax + Dx + Ey + F = 0 Eje horizontal ( y - k ) = 4p ( x - h ) ; By + Dx + Ey + F = 0 Eje focal horizontal Eje focal vertical Eje focal horizontal Eje focal vertical Transformación de coordenadas LR = 4 p ; e = 1 x h y k a x h y k b 1 ; a> b b 1 ; a> b a a = b +c ; LR = b 1 a ; e = c a Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 ; AC>0 x h y k a y k x h a 1 b 1 b c = a +b ; LR = b ; e = c 1 a a Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 ; AC<0 x = r cos y = r sen 19

130 r = x y = ang tan y x x = r cos y = r sen z = z r = x y = ang tan y x z = z x = sen cos y = sen sen z = cos = x y z = ang tan y x = ang cos z x y z Geometría analítica del espacio Producto escalar a b a b a b a b Producto vectorial i j k a x b a1 a a3 b b b 1 3 Producto mixto a b c a a a 1 3 b b b 1 3 c c c

131 a b Ángulo entre dos vectores cos ; sen = a b a x b a b Ecuación vectorial de la recta p p o + tu x xo at Ecuaciones paramétricas de la recta y y bt u a, b, c o z zo ct Ecuaciones cartesianas de la recta en forma simétrica. u ( a, b, c) x x a y y b z z c o o o ; Distancia de un punto Q a una recta d P Q o u x u Distancia entre dos rectas d= P P u x u 1 1 u x u 1 Ecuación vectorial de un plano p po ru sv Ecuaciones paramétricas de un plano x x ru sv y y ru sv z z ru sv o x x o y y o z z Ecuación cartesiana de un plano en forma general Ax+By+Cz+D = 0 ; N ( A, B, C) Ecuación normal de un plano PoP N 0 ; N A,B, C Distancia de un punto Q a un plano d PoQ N N Ángulo entre una recta y un plano sen u N u N 131

132 Cálculo diferencial e integral d (c) 0 dx d (x) 1 dx d[ f(x) g(x) - h(x)] df dx dx d [a f(x)] df a dx dx d [f(g(x))] df dg dx dg dx d (u v) dv du u v dx dx dx n d (u ) n1 du n u n 0 dx dx du d ( u) dx dx u dv du u v d u ( ) dx dx dx v v d (sen u) dx d (cos u) dx (tan u) dx (cot u) dx d (sec u) dx d (csc u) dx d d d (áng sen u) dx du cos u dx du sen u dx du sec u dx du -csc u dx du sec u tan u dx du csc u cot u dx du dx 1 u dg dx dh dx 13

133 du d (áng cos u) dx dx 1 u du d (áng tan u) dx dx 1 u du d (áng cot u) dx dx 1 u du d (áng sec u) dx dx u u 1 du d (áng csc u) dx dx u u 1 du d (ln u) dx dx u d (log a u) dx u d (e ) e dx u u d (a ) a dx u v d (u ) v u dx du u c du dx u ln a du dx ; du ln a dx v1 du dv dw u n du u du u dx n1 u du c ; n 1 ln u e du e u u c + c v dv ln u dx u v w c ln 10 = n

134 u u a a du ln a c ; ln u du u lnu - u c u u e du u e sen u du cos u e u c = - cos u + c u du = sen u + c tan u du = ln cot u du = ln sec u du = ln csc u du = ln sec u du sec u sen u c ln c - ln sec u + tan u csc u - cot u = tan u + c csc u du = - cot u c sec csc u tan u du = sec u + c u cot u du = - csc u + c c c a = cte cos u csc u c c du 1 a + u 1 1 u ln c ang tanh a u a a - u a du 1 u - a 1 1 u ln c ang tanh u a a u + a a du a u u 1 u áng tan a a a du u c u áng sen c a du ln u + u a u a u du a 1 ángsec a u c a c c c 134

135 a u u a 1 du u du 1 a u a u ángsen c a u u a a ln(u + u a ) c Ecuaciones diferenciales Tabla de anuladores x k-1 q(x) D k Anulador e ax (D - a) x k-1 e ax (D - a) k cos bx ó sen bx (D + b ) x k-1 cos bx ó x k-1 sen bx (D + b ) k e ax cos bx ó e ax sen bx D - ad + (a + b ) x k-1 e ax cos bx ó x k-1 e ax sen bx [D - ad + (a + b )] k Tabla de transformadas de Laplace f(t) t n, n=1,, 3, t -1/ 4. e at 5. sen kt 6. cos kt f(t) L f(t)}=f(s) s s 1 s n! s n 1 s 1 s a k k s k L f(t)}=f(s) 135

136 f(t) 7. senh kt 8. cosh kt L f(t)}=f(s) k s k s s k 9. e at f(t) F(s - a) 10. (t-a), a 0 e s as 11. f(t-a) U (t-a), a0 e -as F(s) n d 1. t n f(t), n=1,, 3,... (-1) n ds F ( s ) n 13. f (n) (t), n=1,, 3,... s n F(s) - s n-1 f(0) f (n-1) (0) t 14. f g t d F(s) G(s) 0 st 15. (t-t0), t0 0 0 e 16. t n e at, n=1,, 3, e at sen kt 18. e at cos kt 19. t sen kt 0. t cos kt 1. sen kt - kt cos kt n! ( s ) a n 1 k ( s a) k s a ( s a) k ks ( s k ) s k ( s k ) k 3 ( s k ) ks. sen kt + kt cos kt s k 3. senh kt - sen kt s k 3 k

137 f(t) 4. cosh kt - cos kt L f(t)}=f(s) s k s k cos kt s s k 6. kt - sen kt s s k k k asenbt bsenat ab(a b ) cos bt cos at a b 1 s a s b s s a s b Probabilidad y estadística Parámetro Estimador Intervalo de confianza puntual ( 1- ) 100% Media (varianza conocida) Varianza (de una distribución normal) S Hipótesis nula X 1 n n X i i1 n n 1 Xi X n i1 X z X z n 1 1 ( ) 1 1 n Sn1 n S, n-1 H 0 : = 0, conocida Z 0 = X H 0 : = 0, desconocida t 0 n n1 1, n-1 Estadístico de prueba 0 n X S n1 n 1 H 0 : = 0 Regresión lineal y 0 1 x n 0 S n

138 y x n y x i1 i i n xi i1 n n yi xi i1 i1 n n x i i1 n Coeficiente de correlación de la muestra r n i1 n i1 y x i x n x i x y i y i i1 1 Permutaciones Combinaciones P rn n r n! n r! n! n r! r! Permutaciones con objetos similares n n1, n,..., nk P n! n! n!... n! 1 k Probabilidad condicional P A B = P A B P B Teorema de Bayes P BK A P BK P A BK N P Bi P A Bi i1 138

139 Modelos probabilísticos comunes NOMBRE Binomial DISTRIBUCIÓN n x x n- x p q RANGO MEDIA VARIANZA FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS x = 0,1,.. n np npq (q + p e ) n Geométrica p q x-1 x = 1,,... 1 p q p e p 1 - qe De Pascal (Binomial negativa) x 1 x = r, r + 1,... r r xr p q r 1 p rq p r pe 1 qe De Poisson ( t ) x e -t x! Uniforme 1 Exponencial Normal 1 b - a x = 0,1,,... t t t(e -1) e a x b a + b e -x x x- e (b - a ) < x < b a e - e (b - a) + 1 e - Ji-cuadrada x > 0 v (1 - ) t de Student - < x < 0 -, > F (de Fisher) 0 < x < -, ( ) ( - 1 ) ( - 4), > > 4 Erlang ( t ) r -1 e - t t > 0 r (r - 1)! r 139

140 Mecánica Física Centroides. Arco de circunferencia: Triángulo: y 1 h 3 Sector de círculo: r sen 180 y 3 rs 3b Trapecio: h a b y * 3 a b Segmento de corona circular: Segmento de círculo: y 3 s 1A Estática. Fuerza aplicada paralelamente al plano de deslizamiento: Fricción estática: Valor límite: F f1 = - F 1 = G tan 1 N = - G C< 1 (variable)< 0 F f0 = - F 0 = G tan 0 N = - G 0 = tan 0 > 140

141 Fricción dinámica: 0 = constante > F f = - F = G tan N = - G = tan < 0 = constante < 0 Fuerza aplicada oblicuamente respecto al plano de deslizamiento: Rozamiento en un plano inclinado: tan = tan = Fricción de chumaceras: De carga radial: M 1 = r r F De carga axial: M f = r r 1 a F Fricción rodante: Rodamiento de un cilindro macizo: F = f r N f r G Condición de rodamiento: F f < 0 N Movimiento de una placa sobre rodillos: Si f 1 = f =f y ng < G 1 : F = f r G 1 Fricción en cables: Fuerza de tracción para subir la carga G: F 1 = e a G, F f = (e a - 1) G Fuerza de tracción para bajar la carga G: F = e -a G, F f = (1 - e -a ) G Transmisión de banda o correa: F p = M i r y F p = F En movimiento: Fp F0 a e 1 a e F 1 Fp a e 1 141

142 En reposo: 14

143 Poleas y polipastos: incógnita polea polea polipasto fija móvil común diferencial F 1 = G 1 + G - d D + 1 G F 0 = F = 1 G G G 1 + S = h h nh n 1-1 n G 1 n G d D G F 1(F 0) 1 h - d D - d D G D d F 1(F 0) F 1 (F 0) F 1(F 0) G G G G Ventaja mecánica i = Fuerza Carga = F G = h 0 s F 1 Fuerza para subir la carga (sin fricción) F 0 Fuerza para bajar la carga (sin fricción) F Fuerza sin considerar la rigidez del cable ni la fricción 1 = Factor de pérdida por la rigidez del cable (para cables metálicos y cadenas 1.05) Eficiencia s Recorrido de la fuerza n Número de poleas h Recorrido de la carga 143

144 Dinámica Características cinemáticas de puntos y segmentos rectilíneos. Conceptos lineales y angulares. Se tiene que son conceptos lineales: r = posición, v = velocidad, a = aceleración, t = tiempo Se tiene que son conceptos angulares: = posición, = velocidad, = aceleración, t = tiempo Expresión que relaciona ambos conceptos: v = x r Conceptos correspondientes a puntos y partículas en movimiento. Concepto Vector de posición (lineal) Símbolo(s) más común(es) Velocidad (lineal) v, r v d r dt r Relación con otra(s) función(es) Aceleración (lineal) a, r a d dt, a d dt r Conceptos correspondientes a segmentos rectilíneos que modifican su dirección durante el movimiento, y de cuerpos rígidos que contengan ese tipo de segmentos. Concepto Vector de posición (angular) Símbolo(s) más común(es) Velocidad (angular), d dt Relación con otra(s) función(es) Aceleración (angular), d, d dt dt Componentes cartesianas de los vectores de posición, velocidad y aceleración lineales para movimientos en el espacio, en un plano y rectilíneos. r = r(t) = xi + yj + zk, v = r xi y j z k, a = r x i y j z k Entonces, si P se mueve en el plano xy tenemos: r = xi + yj, v = x i y j, a = x i y j 144

145 Si P realiza un movimiento rectilíneo cualquiera en el eje x se tienen: r = xi, v = x i, a = x i Relaciones entre conceptos lineales y angulares. a = x ( x r) + x r Cinemática del cuerpo rígido. v = R + x a =R + x + x ( x ) ecuaciones aplicables a cualquier tipo de movimiento del cuerpo rígido. Centro y eje instantáneo de rotación. v = x donde es un vector perpendicular al eje instantáneo de rotación. Primeros momentos de la masa de un sistema de partículas. Con respecto a los planos xy, xz, yz tenemos: M xy = n m i zi, M xz = mi yi, M yz = mi x i = 1 n i = 1 n i = 1 i Primeros momentos de la masa de un cuerpo rígido. M xy = Ecuaciones escalares de centro de masa. Mx c = zdm, M xz = ydm, M yz = xdm n v v m i xi, My c = mi yi, Mz c = mi zi i = 1 n i = 1 v n i = 1 Para cuerpos rígidos tenemos: Mx c = xdm, My c = ydm, Mz c = zdm v Momentos de inercia de la masa de un cuerpo rígido. I xx = MM xz + MM xy, I yy = MM yz + MM xy, I zz = MM yz + MM xz v v Dinámica de la partícula. Ecuaciones de movimiento. F = ma ó a = 1 m F 145

146 Trabajo y energía. dt = p dr Energía cinética y su relación con el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula EC = 1 m Impulso y cantidad de movimiento lineales. 1 Fdt (mv) - (mv) 1 Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento lineales. Ecuación diferencial de movimiento para sistemas de partículas. Ecuación fundamental para el estudio de la dinámica del cuerpo rígido. F = M a c Ecuación de impulso y cantidad de movimiento lineales para sistemas de partículas Principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal para sistemas de partículas. Ecuación para obtener la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido. H CC = I CC Ecuación para obtener la suma de los momentos de los elementos mecánicos que actúan sobre un cuerpo rígido. M CC = I CC 146

147 Momento de un sistema de fuerzas y/o pares que actúan sobre un cuerpo, con respecto el eje CC Primera forma de la ecuación del trabajo y la energía para un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general. Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento angulares. Modelo matemático correspondiente a las vibraciones libres con un grado de libertad. Modelo matemático correspondiente a las vibraciones forzadas con un grado de libertad. 147

148 Química Tabla periódica de los elementos 148